¿Implica que $f_n \to 0$ $L^1(\mathbb R^2)$ casi todos $f_{n_k}(x,\cdot)\to 0$ $L^1(\mathbb R)$ $x \in \mathbb R$?

Question

Me gustaría saber qué piensas sobre esta cuestión. Es una cuestión de "uno mismo-Posada": formuló mientras estaba haciendo un ejercicio.

Supongamos que tiene $(f_n)_{n\ \in \mathbb N}\subset L^1(\mathbb R^2)$ tal que $f_n \to 0$ $L^1(\mathbb R^2)$.

¿Es cierto que existe un subsequence $f_{n_k}$ tal que $f_{n_k}(x,\cdot)\to 0$ $L^1(\mathbb R)$ casi todos $x \in \mathbb R$?

Answer 1

La respuesta es sí. Que $g_n(x) = \int_{\mathbb R}|f_n(x,y)|\,dy$. Entonces su condición es equivalente a decir que $g_n \to 0$ $L^1(\mathbb R)$. Es un hecho estándar de teoría de la medida que si una secuencia de funciones ${\mathbb R}$ converge en $L^p$, entonces tiene un subsequence que converge pointwise a.e. hasta el límite del mismo. Así podemos extraer un subsequence $g_{n_k}(x)$ que converge pointwise a.e. a 0, que es lo mismo que decir $f_{n_k}(x,\cdot) \to 0$ $L^1({\mathbb R})$ % e.a. $x$.