¿Qué sería de esta región siquiera se parecen y cómo puedo croquis?

Question

Necesito un bosquejo de la siguiente región en $\mathbb{R^3}$.

$$D=\{(x,y,z) : 0 \leq z \leq 1-|x|-|y|\}$$

Realmente no tengo idea de cómo ir sobre croquizado en este y nunca puedo visualizar en 3D.

He tratado de dejar a $x,y,z=0$ y ver si me puede ayudar a ver lo que parece pero estoy muy atascado.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia

1. ¿Cuál es la forma de la base de esta región, es decir, su intersección con la a $xy$-plane? Por construcción, este es $$\{(x, y, 0) : 0 \leq 1 - |x| - |y|\}.$$

2. Tenga en cuenta que la restricción de la parte superior de la superficie de los sólidos para el cuadrante $\{x \geq 0, y \geq 0\}$ es sólo la parte correspondiente de la gráfica de $$z = 1 - x - y ;$$ en particular, esta ecuación es afín, y por lo tanto la parte de la superficie es parte de un plano. La misma conclusión se aplica por separado igual de bien a los otros tres cuadrantes.

Answer 2

Mira los planos de las secciones de $D$ $z=z_0$ constante. Usted tiene $$(x,y,z_0) \in D \Longleftrightarrow \vert x \vert + \vert y \vert \le 1-z_0$$ which is the empty set for $z_0 > 1$ and a square as drawn in the picture for $0 \le z_0 \le 1$

Esto es bien conocido si sabe el $\mathbb R^2$ norma $\vert x \vert + \vert y \vert$.

Esto nos permite concluir que $D$ es una pirámide con una base cuadrada de la altura de la $1$ orientado como en la imagen de arriba.

Answer 3

Si usted se siente cómodo bosquejar funciones en el plano, en primer lugar, piense en los planos horizontales a diferentes alturas. Esto equivale a la fijación de $z = h$ (una altura) y dejando $x$ $y$ variar.

A la altura de la $h$ lo que se ve es el argumento de la función $h = 1 - |x| - |y|$, es decir, usted debe parcela $$|y| = 1-h -|x|$$ $$y = \pm (1-h -|x|).$$ Con el signo más en la parte delantera, esto se ve como un "$\wedge$" carácter; con el signo menos delante, se ve como un "$\lor$" carácter".

Tenga en cuenta que el $\pm$ ecuación sólo tiene sentido mientras el lado derecho es positivo en la primera ecuación.

Si se toma en cuenta (usted puede hacer los cálculos) finalmente se tiene una forma de diamante con vértices en a $1-h$ para el norte, sur, este y oeste de el origen de la $x,y$ plano. El diamante se hace menor a medida que aumenta la altura, finalmente, convertirse en un punto al $h=1$.

Esta descripción corresponde a la gráfica de $z=1-|x|-|y|$, pero necesita $0\leq z\leq 1-|x|-|y|$. Esto significa que para cada una de las $x,y$ tu set incluye todos los puntos con altura entre la base de la $z=0$ y el "diamante en forma de sombrero" que acabamos de describir. Esto proporciona una sólida pirámide con un diamante (plaza) de la base.

Las funciones en cada cuadrante $\{x>0, y>0\}$, $\{x<0, y>0\}$, etc. son planos, por lo que la pirámide se ha lineal o plana vertical de perfil en cualquier dirección. (Mirando desde el lateral, $y=0$, por ejemplo, da $z\leq 1-|x|$)