Cómo encontrar la n-esima número en esta secuencia

Question

Los primeros números de la secuencia son {2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 7, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2}.

I. e. el incluso indexado elementos son 1. La eliminación de los rendimientos de una nueva secuencia en la que el extraño indexado elementos son 2. La eliminación de los rendimientos de una nueva secuencia en la que el extraño indexado elementos son 3. Etc.

En realidad lo que necesito es la suma de los primeros a $n$ elementos para todos los $n\in\mathbb{N}$. He intentado utilizar el dígito binario cuenta de $n$ pero no he de encontrar algo útil.

Answer 1

El n-ésimo término es igual a la mayor potencia de 2 que divide a (n+1), además de 1.

En otras palabras, si $n+1=2^lm$ en la que l es no negativo y m es impar, entonces $a_n=l+1$.

(Por ejemplo, el 11-ésimo término es igual a 2+1,ya que el $2^2$ divide a las 12, pero no $2^3$, el 23-ésimo término es igual a 3+1, ya que el $2^3$ es el poder más grande que divide a 24).

También tenemos $a_1+a_2+...+a_n=$ {la mayor potencia de 2 que divide $(n+1)!$ }+n.

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En un lenguaje más formal

$a_n=v_2(n+1)+1$.

Suma de los primeros n elementos de a$=n+v_2((n+1)!)$

$v_2(t)$ representa la mayor potencia de 2 que divide a t.

Answer 2

Aviso de que tenemos que cada 2 términos es 1 de cada 4 términos es 2, cada 8 de términos es 3. En general, todos los $2^n $ términos tenemos el término $n $$n>0$. Para hacer esto más fácil, vamos a añadir un 1 al principio de la secuencia. Por lo tanto la suma de los primeros a $N $ términos $$S'=\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\left\lfloor\frac {N-2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor\right) n$$ Las cosas se ponen un poco raro porque tenemos que tener en cuenta para cuando el primer número, digamos, por ejemplo, $5$ inicia el que se producen. Observe cómo cada número $n$ hace su primera aparición en el $2^{n-1}$ plazo en lugar de la $2^n$ después de añadir un 1 al principio.
Por otra parte tenemos la suma de los infinitos términos sin embargo, en algún punto de los términos de cero y podemos dejar de sumar. A ver cuando este es, observe que el argumento en el interior del piso de la función es estrictamente decreciente como $n\to\infty$ por lo que debemos comprobar cuando $$\frac{N-2^{n-1}}{2^n}=1$$ Que la solución para $n$ nos dice que esto ocurre cuando $$n=\log_2\left(\frac{2N}{3}\right)$$ Pero debido a que estamos tratando con valores enteros de a $n$ (debido a que se trata de un índice en nuestro balance) sólo tenemos que sumar un índice de $$n=P=\left\lfloor \log_2\left(\frac{2N}{3}\right) \right\rfloor$$ Por lo que realmente si llamamos a la secuencia de $\{ a_n \} $ (siendo esta la secuencia original con un anexa), entonces $$S'=\sum_{n=1}^N a_n=\sum_{n=1}^{P}\left(1+\left\lfloor\frac {N-2^{n-1}}{2^n}\right\rfloor\right) n$$ Que finalmente la contabilidad de la 1, se anexa, se puede obtener la suma de la secuencia original restando 1 a partir de la suma y la configuración de $N\to N-1$.

Answer 3

El $n^\text{th}$ número de la secuencia es $1$ más que el número de consecutivo $1$'s al final de la representación binaria de $n.$ $$ $$ Para cualquier $n \ge 1,$ la suma de los primeros a $n$ de los miembros en la secuencia es:

$2n$ menos el número de $1$'s en la representación binaria de $n$ que no están en un final consecutiva bloque de $1$'s en el extremo derecho de la final de la serie.

$$ $$

Por ejemplo:

Si $n \ge 2$ es una potencia de $2,$, entonces la suma de los primeros a $n$ números en la secuencia es $2n-1$ (ya que no hay una sola $1$ en la representación binaria de $n$ y no en el extremo derecho).

Si $n$ es cualquier número, entonces la suma de los primeros a $n$ números en la secuencia es $2n$ menos que el número total de $1$'s en la representación binaria de $n$ (ya que ninguno de los $1$'s son en el extremo derecho).

Si $n$ $1$ menos que un poder de $2,$, entonces la suma de los primeros a $n$ números en la secuencia es $2n$ (ya que todas las $1$'s en la representación binaria de $n$ están en la final consecutiva bloque en el extremo derecho).