Dejemos que $(X,\mathscr F)$ sea un espacio medible y $Y$ sea un conjunto finito con un $\sigma$ -Álgebra $2^Y$ . Que el mapa $$ f:X\to Y $$ sea $\mathscr F|2^Y$ -medible. Considere los conjuntos $X^\mathbb N$ y $Y^\mathbb N$ dotado de producto $\sigma$ -y se extienden $$ f':X^\mathbb N\to Y^\mathbb N,\quad f'(x_1,x_2,\dots) = (f(x_1),f(x_2),\dots). $$ ¿Es cierto que $f'$ ¿es medible? Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Parece un problema fácil, pero creo que se me escapa algún punto.
Respuesta
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Sí, lo es. Una forma de verlo es recordar que el producto $\sigma$ -álgebra en $Y^\mathbb{N}$ se genera mediante "conjuntos de cilindros" de la forma $$A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n \times Y \times Y \times \cdots.$$ Está claro que $f'^{-1}$ de dicho conjunto es medible. Pero la colección $$\{A \subset Y^\mathbb{N} : f'^{-1}(A) \in \mathcal{F}^\mathbb{N}\}$$ es un $\sigma$ -Álgebra. Por lo tanto, contiene todos los conjuntos del producto $\sigma$ -álgebra, lo que significa $f'$ es medible.
