Cerrado
El primer mapa no es cerrado ya que el conjunto cerrado $((-n,n+1/n))_{n\Bbb N}$ tiene una imagen con punto de acumulación $0,$ que no está en esa imagen.
El mismo conjunto cerrado es enviado a un conjunto no cerrado por el cuarto mapa.
La misma idea puede utilizarse para el quinto mapa. Aquí el conjunto $((-n,n+1/n^3))_{n\in\Bbb N}$ se asigna a un conjunto no cerrado.
Se pueden utilizar construcciones similares para el sexto y el séptimo mapa.
El segundo mapa tampoco está cerrado. Como el mapa es el compuesto $\mu\circ\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , donde $\mu:(x,y)\mapsto xy$ basta con estudiar $\mu$ . Ahora $((n,1/n^2))_n$ tiene la imagen no cerrada $(1/n)_n$ .
El tercer mapa, sin embargo, está cerrado. Se puede utilizar que cualquier mapa propio a un espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un mapa cerrado. El tercer mapa $f$ es apropiado como $f(x,y)\to\infty$ para $\lVert (x,y)\rVert\to$ .
Ahora, la apertura
La primera función es abierta: Si $U$ es un conjunto abierto en el plano y $(x,y)U$ entonces $f(U)$ contiene el barrio $f(X×\{y\}U)$ de $x+y$ . El mismo razonamiento se aplica a los mapas 5, 6 y 7.
El tercer y cuarto mapa no están abiertos ya que su alcance es $[0,\infty)$ .
El segundo mapa está abierto. ¿Puedes probarlo?
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¿Basta con demostrarlo para el cuadrado unitario cerrado?