Algunas preguntas sobre los mapas abiertos y cerrados

Question

Dejemos que $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ sea un mapa como el siguiente:

1. $f(x,y)=x+y$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

2. $f(x,y)=x^2-y^2$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

3. $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

4. $f(x,y)=(x+y)^2$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

5. $f(x,y)=x^3+y^3$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

6. $f(x,y)=x^3+y$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

7. $f(x,y)=x^5+y^2$ ¿es un mapa abierto o un mapa cerrado?

¿Existe alguna condición necesaria y suficiente (efectiva) para atestiguar que un mapa es un mapa cerrado?

Muchas gracias.

Answer 1

Cerrado

El primer mapa no es cerrado ya que el conjunto cerrado $((-n,n+1/n))_{n\Bbb N}$ tiene una imagen con punto de acumulación $0,$ que no está en esa imagen.
El mismo conjunto cerrado es enviado a un conjunto no cerrado por el cuarto mapa.
La misma idea puede utilizarse para el quinto mapa. Aquí el conjunto $((-n,n+1/n^3))_{n\in\Bbb N}$ se asigna a un conjunto no cerrado.
Se pueden utilizar construcciones similares para el sexto y el séptimo mapa.

El segundo mapa tampoco está cerrado. Como el mapa es el compuesto $\mu\circ\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ , donde $\mu:(x,y)\mapsto xy$ basta con estudiar $\mu$ . Ahora $((n,1/n^2))_n$ tiene la imagen no cerrada $(1/n)_n$ .

El tercer mapa, sin embargo, está cerrado. Se puede utilizar que cualquier mapa propio a un espacio de Hausdorff generado de forma compacta es un mapa cerrado. El tercer mapa $f$ es apropiado como $f(x,y)\to\infty$ para $\lVert (x,y)\rVert\to$ .

Ahora, la apertura

La primera función es abierta: Si $U$ es un conjunto abierto en el plano y $(x,y)U$ entonces $f(U)$ contiene el barrio $f(X×\{y\}U)$ de $x+y$ . El mismo razonamiento se aplica a los mapas 5, 6 y 7.

El tercer y cuarto mapa no están abiertos ya que su alcance es $[0,\infty)$ .

El segundo mapa está abierto. ¿Puedes probarlo?