La validez de una p-serie teorema de

Question

Definir el $q$-analógico $(a;q)_n = \prod_{k=0}^n \left(1 - aq^k\right)$.

Yo quiero probar la identidad de $\frac{(q^2;q^2)_\infty}{(q;q)_\infty}=\frac{1}{(q;q^2)_\infty}$.

He visto al lado izquierdo de esta manera:

$$\frac{1 - q^2}{1 - q} \frac{1 - q^4}{1 - q^2} \frac{1 - q^6}{1 - q^3} \frac{1 - q^8}{1 - q^4} \frac{1 - q^{10}}{1 - q^5} \frac{1 - q^{11}}{1 - q^6} \cdots$$

y se pueden imaginar llegar a la RHS por la cancelación de la $k$th plazo en la parte superior con el $2k+1$th plazo en la parte inferior.

¿Realmente podemos cancelar esa manera? Desde la brecha entre el $k$ $2k+1$ sigue creciendo podría no ser válida.

Answer 1

Tomar el logaritmo del cociente de infinito productos para obtener una diferencia de infinitas sumas de dinero. Ambas sumas convergen absolutamente, y por lo tanto usted puede reorganizar sus términos a voluntad y dejar que ellos se cancela.