Deje que $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $F$ de la característica cero. A continuación se muestra una prueba del hecho de que si $T \in\text {End}(V)$ y $T$ admite un polinomio mínimo con raíces distintas $ \lambda_1 , \ldots , \lambda_n $ Entonces $$ V=N_1 \oplus\cdots\oplus N_n, $$ donde $N_k= \ker (T- \lambda_k\ ,I)$ .
Pregunta: ¿el resultado se mantiene si relajamos la condición de la característica? ¿En la simplicidad de las raíces?
Aquí está la prueba. Considere el polinomio $$ q(t)= \sum_ {k=1}^n \prod_ {j \ne k} \frac {(t- \lambda_j )}{( \lambda_k - \lambda_j )} $$ Esto está bien definido porque $ \lambda_1 , \ldots , \lambda_n $ son distintos. Tenemos $q( \lambda_k )=1$ para todos $k=1, \ldots ,n$ . Como el grado de $q$ es $n-1$ deducimos que $q(t)=1$ para todos $t$ . Luego $q(T)=I$ . Para cualquier $x \in V$ podemos escribir $x=q(T)x$ es decir. $$ \tag {1} x= \sum_ {k=1}^n\, \prod_ {j \ne k} \frac {(T- \lambda_j\ ,I)\,x}{( \lambda_k - \lambda_j )} . $$ Está claro que $ \prod_ {j \ne k} \frac {(T- \lambda_j\ ,I)\,x}{( \lambda_k - \lambda_j )} \in N_k$ ya que $$ (T- \lambda_k\ ,I)\, \prod_ {j \ne k} \frac {(T- \lambda_j\ ,I)\,x}{( \lambda_k - \lambda_j )}=p(T)x=0. $$ Finalmente, si $y \in N_k \cap N_j$ para $k \ne j$ Entonces $$0=Ty- \lambda_ky =Ty- \lambda_jy ,$$ así que $( \lambda_k - \lambda_j )y=0$ . Como $ \lambda_k - \lambda_j\ne0 $ Tenemos $y=0$ . Así que la descomposición $(1)$ es, en efecto, una suma directa.
El hecho de que $p$ es el polinomio mínimo que garantiza que $N_k \ne\ {0\}$ para todos $k$ si, por ejemplo, $N_1=\{0\}$ Entonces $(T- \lambda_2\ ,I) \cdots (T- \lambda_n\ ,I)x=0$ para todos $x \in V$ y luego $p$ no sería mínimo.
