Podemos establecer la convergencia uso del Teorema de Cauchy. Para $p \gt 0$, considere la integral
$$\oint_C dz \, e^{i z^p} $$
donde $C$ es el límite de un sector circular de radio $R$ y el ángulo de $\pi/(2 p)$,en el ángulo superior derecho del plano complejo, con un segmento a lo largo del eje real positivo. El contorno de la integral es entonces
$$\int_0^R dx \, e^{i x^p} + i R \int_0^{\pi/(2 p)} d\theta \, e^{i \theta} \, e^{i R^p e^{i p \theta}} + e^{i \pi/(2 p)} \int_R^0 dt \, e^{-t^p}$$
La segunda integral se desvanece en el límite de $R \to \infty$ al $p \gt 1$. Podemos ver esto por la delimitación de la magnitud de esta integral, que es menos que o igual a
$$R \int_0^{\pi/(2 p)} d\theta \, e^{-r^p \sin{p \theta}} = \frac{R}{p} \int_0^{\pi/2} d\phi \, e^{R^p \sin{\phi}} \le \frac{R}{p} \int_0^{\pi/2} d\phi \, e^{2 R^p \phi/\pi} \le \frac{\pi}{2 p} \frac1{R^{p-1}}$$
Por lo tanto, cuando se $p \gt 1$, tenemos en este límite
$$\int_0^{\infty} dx \, e^{i x^p} = e^{i \pi/(2 p)} \int_0^{\infty} dx \, e^{-x^p} $$
La integral en el lado derecho claramente converge, por lo que la integral en el lado izquierdo converge y su parte imaginaria. Por lo tanto, cuando se $p \gt 1$, la integral en cuestión converge y es igual a
$$\int_0^{\infty} dx \, \sin{x^p} = \sin{\left (\frac{\pi}{2 p}\right )} \int_0^{\infty} dx \, e^{-x^p} = \frac1{p} \Gamma \left ( \frac1{p} \right ) \sin{\left (\frac{\pi}{2 p}\right )} $$
La integral no converge para $0 \lt p \lt 1$. Cauchy Teorema es incapaz de decir nada acerca de la convergencia al $p=1$.
Tenga en cuenta que la cuestión de la convergencia de $p \lt 0$ pueden ser contestadas por subbing $u=1/x$ en el original de la integral para obtener
$$\int_0^{\infty} du \frac{\sin{u^{|p|}}}{u^2} $$
A partir del análisis anterior y el comportamiento en $u=0$, se puede establecer que la integral converge al $|p| \gt 1$.
