Recuerdo que responder a una pregunta similar no hace mucho tiempo: las Constantes en la ecuación de Laplace para un cubo.
Vamos a hacer el problema más estructura que revela mediante la ampliación de $\Omega$$[0,\pi]^2$. Sin considerar ninguna condición de frontera, mediante separación de variables: $u(x,y) = X(x)Y(y)$ conduce a:
$$
X" - \lambda X = 0,\quad\text{y}\quad Y" + \lambda Y = 0.\la etiqueta{1}
$$
Si $\lambda = \omega^2 >0$ (podría ser de otra manera, o $0$, pero que es el caso trivial en donde la solución es atravesado por $\{1,x,y,xy\}$ y usted no puede tener periódica de las condiciones de contorno), entonces la solución de (1) conduce a
$$
u(x,y) = \sum_{\omega\en Un} c_{\omega}(a_1 e^{-\omega x} + a_2 e^{\omega x})\big(b_1 \cos (\omega y) + b_2 \sin (\omega y)\big), \etiqueta{2}
$$
Vamos a restringir $A$ $\mathbb{N}$ por ahora si esta opción puede generar todas las funciones en el espacio de la solución que necesitamos. Ahora en la condición de frontera, básicamente queremos usar la condición de contorno para el pin de abajo $a_1,a_2,b_1,b_2$ (de los que dependen $\omega$), y $c_{\omega}$:
$$
u(x,0) = u(x,\pi,\quad\text{y}\quad u(0,y) = u(\pi,y).
$$
Primero da:
$$
\sum_{\omega\en Un} c_{\omega}(a_1 e^{-\omega x} + a_2 e^{\omega x}) b_1 = -\sum_{\omega\en Un} c_{\omega}(a_1 e^{-\omega x} + a_2 e^{\omega x}) b_1,
$$
que las unidades de $b_1 = 0$. La segunda, se obtiene:
$$\sum_{\omega\in A} c_{\omega}(a_1 + a_2 )b_2 \sin (\omega y) = \sum_{\omega\in A} c_{\omega}(a_1 e^{-\omega \pi} + a_2 e^{\omega \pi})b_2 \sin (\omega y).$$
Aquí es donde las cosas se ponen bastante vaga, si usted acaba de definir $u(0,y) = u(\pi,y)$, no se que tanto igual a alguna función específica, no podemos encontrar todos los coeficientes.
Ahora a responder a tu pregunta, no podemos decir que la familia de soluciones a este problema es único hasta una constante, tenemos dos familias de la solución! Otros (2), podemos establecer la $\lambda = -\omega^2<0$ y lograr que las demás familia:
$$
u(x,y) = \sum_{\omega\en Un} c_{\omega}\big(a_1 \cos (\omega x) + a_2 \sin (\omega x)\big)(b_1 e^{-\omega y} + b_2 e^{\omega y}), \etiqueta{3}
$$
donde la familia (2) corresponde a la condición de límite $u(x,0) = u(x,\pi) = 0$, y de la familia (3) corresponde a la condición de límite $u(0,y) = u(\pi,y) = 0$.
Solución en la familia (3) no puede ser una constante, además de una solución en la familia (2). Sólo piensa en un plano de onda sinusoidal que viaja a lo largo de $x$-eje, la adición de una constante es el cambio hacia arriba o hacia abajo, no podemos hacer que un avión de la onda sinusoidal que viaja a lo largo de $y$-eje.
E incluso para la solución de la misma familia que no puede hacer eso! Pensar en el infinito superposición de diferentes frecuencias de ondas sinusoidales a lo largo de una misma dirección: dicen que establece $u(x,0) = u(x,\pi) = 0$, $u(0,y) = u(\pi,y) = g(y)$, y absorber $c$ a $a_1$$a_2$:
$$
u(x,y) = \sum_{\omega\en A} (a_1 e^{-\omega x} + a_2 e^{\omega x}) \sin (\omega y),\etiqueta{$\dagger$}
$$
la segunda condición de frontera conduce a:
$$
\sum_{\omega\en A} (a_1 + a_2 ) \sin (\omega y) = \sum_{\omega\en A} (a_1 e^{-\omega \pi} + a_2 e^{\omega \pi}) \sin (\omega y) = g(y),
$$
para permisible $g$ cuya transformada de Fourier de expansión sólo ha sine términos. Multiplicando por encima de una frecuencia específica $\sin (\omega_0 y)$ e integrar en $[0,\pi]$ le da:
$$
\int^{\pi}_0 g(y)\sin (\omega_0 y) \,dy=\int^{\pi}_0 (a_1 + a_2 ) \sin^2 (\omega_0 y) \,dy= \int^{\pi}_0 (a_1 e^{-\omega_0\pi} + a_2 e^{\omega_0 \pi}) \sin^2 (\omega_0 y)\,dy,
$$
que es:
$$
\int^{\pi}_0 g(y)\sin (\omega_0 y) \,dy = \frac{\pi}{2} (a_1 + a_2 ) = \frac{\pi}{2} (a_1 e^{-\omega_0\pi} + a_2 e^{\omega_0\pi}).
$$
Resolución por encima de los rendimientos:
$$
\begin{gathered}
a_1 = \frac{2(e^{\omega_0\pi}-1)}{\pi(e^{\omega_0\pi} - e^{-\omega_0\pi})}\int^{\pi}_0 g(y)\sin (\omega_0 y) \,dy,
\\
a_2 = \frac{2(1-e^{-\omega_0\pi})}{\pi(e^{\omega_0\pi} - e^{-\omega_0\pi})}\int^{\pi}_0 g(y)\sin (\omega_0 y) \,dy.
\end{reunieron}\etiqueta{$\ddagger$}
$$
Podemos ver por este coeficiente de relación, si añadimos otro permisible $h(y)$$g(y)$, no va a producir una solución de la adición de una constante. Algunos coeficientes diferentes para cada frecuencia $\omega_0$, se agregan a la original de los coeficientes de la $ (a_1 e^{-\omega x} + a_2 e^{\omega x})$$g(y)$. Realmente esto no se diferencia de la solución basada en la condición de límite $g(y)$ por una constante.
Último comentario: incluso si sólo tenemos que añadir otra constante a $g(y)$, no podemos decir que la nueva solución sólo difiere de la solución anterior por una constante.
Un simple ejemplo es que si en primer lugar tenemos a $u(x,0) = u(x,\pi) = 0$, e $u(0,y) = u(\pi,y) = 1$, tenemos una solución a $u_1(x,y)$, luego se añade 1 a la condición de contorno $u(0,y) = u(\pi,y) = 1$,$(\dagger)$$(\ddagger)$, la solución de $u_2(x,y) = 2u_1(x,y)$, duplicando la amplitud más que difieren por una constante.
Si se suma una constante tanto de las condiciones de contorno, creo que podemos conseguir un cambio hacia arriba o hacia abajo, es decir, $u_2 = u_1 +C$.
