Solucionar $\sin \frac{\alpha - \beta}2 + \sin \frac{\alpha - \gamma}2 + \sin \frac{3\alpha}2 =\frac 3 2$

Question

Resolver el siguiente trigonométricas eqation donde $\alpha, \beta, \gamma$ son ángulos en un triángulo ($\alpha + \beta + \gamma = 180$):

$$\sin \frac{\alpha - \beta}2 + \sin \frac{\alpha - \gamma}2 + \sin \frac{3\alpha}2 =\frac 3 2$$

Transformándolo en $2 \sin \frac{3\alpha-180}4 \cos \frac{\beta - \gamma}4 + \sin \frac{3\alpha}2 =\frac{3}2$ y $\cos \frac{\beta - \gamma}4 =\cos \frac{180- \alpha}4 + 2 \sin \frac{\beta}4 \sin \frac{\gamma}4$ es como me vino.

Answer 1

Me tomó un enfoque que puede ser sólo superficialmente diferentes de abel's debido a la subyacente identidades trigonométricas y sigue un plomo SoulEater estaba tomando, pero a lo largo de una ruta ligeramente diferente.

Podemos deshacernos de $ \ \alpha \ $ , para empezar, por escrito, $ \ \alpha - \beta \ = \ \pi - 2 \beta - \gamma \ $ y, del mismo modo, $ \ \alpha - \gamma \ = \ \pi - \beta - 2\gamma \ $ . A partir de esto, hemos

$$ \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \ = \ \sin \left( \frac{\pi}{2} - [ \ \beta + \frac{\gamma}{2} \ ] \right) \ = \ \cos \left( \ \beta + \frac{\gamma}{2} \ \right) \ \ $$

y $ \ \sin \left( \frac{\alpha - \gamma}{2} \right) \ = \ \cos \left( \ \frac{\beta}{2} + \gamma \ \right) \ $ . [Hasta ahora, esto se parece a lo que abel hizo, mientras que se derivan de las transformaciones de variables.] También vamos a escribir

$$ \sin \frac{3 \alpha}{2} \ = \ \sin \left( \frac{3}{2} [ \pi - \beta - \gamma ] \right) \ = \ \sin \left( \frac{3 \pi}{2} - \ \frac{3}{2} [\beta + \gamma ] \ \right) \ = \ -\cos \left( \frac{3}{2} [\beta + \gamma ] \ \right) \ \ . $$

La ecuación original es ahora

$$ \cos \left( \ \beta + \frac{\gamma}{2} \ \right) \ + \ \cos \left( \ \frac{\beta}{2} + \gamma \ \right) \ - \ \cos \left( \frac{3}{2} [\beta + \gamma ] \ \right) \ = \ \frac{3}{2} \ \ . $$

La aplicación de una "suma de los productos de la regla" en los primeros dos términos que aquí se da

$$ 2 \ \cos \left( \frac{3}{4} [\beta + \gamma ] \ \right) \cos \left( \frac{1}{4} [\beta - \gamma ] \right) - \ \cos \left( \frac{3}{2} [\beta + \gamma ] \ \right) \ = \ \frac{3}{2} \ \ . $$

Esto aparentemente no parece haber hecho mucho de nada útil, pero resulta que en realidad hemos terminado la "parte dura"...

Vamos a la etiqueta de los ángulos $ \ \Theta \ = \ \frac{3}{4} [\beta + \gamma ] \ $$ \ \Phi \ = \ \frac{1}{4} [\beta - \gamma ] \ $ , lo que nos permite escribir

$$ 2 \ \cos \Theta \ \cos \Phi \ - \ \cos \ ( 2 \Theta ) \ = \ \frac{3}{2} \ \ \Rightarrow \ \ 2 \ \cos \Theta \ \cos \Phi \ - \ 2 \ \cos^2 \Theta \ + \ 1 \ = \ \frac{3}{2} $$

$$ \Rightarrow \ \ \cos \Theta \ \cos \Phi \ - \ \cos^2 \Theta \ = \ \frac{1}{4} \ \ . $$

Ahora, si $ \ \beta \ = \ \gamma \ $, $ \ \Phi \ = \ 0 \ $ y sólo tenemos la ecuación de segundo grado en $ \ \cos \Theta \ $ ,

$$ \cos^2 \Theta \ - \ \cos \Theta \ + \ \frac{1}{4} \ = \ \left( \cos \Theta \ - \ \frac{1}{2} \right)^2 \ = \ 0 \ \ . $$

Ya que estamos limitando a los ángulos de un triángulo, obtenemos

$$ \cos \left( \frac{3}{4} [\beta + \gamma ] \ \right) \ = \ \frac{1}{2} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{3}{4} [\beta + \gamma ] \ = \ \frac{\pi}{3} \ \ \Rightarrow \ \ \beta \ + \ \gamma \ = \ \frac{4 \pi}{9} \ \ . $$

Por lo tanto, $ \ \beta \ = \ \gamma \ = \ \frac{2 \pi}{9} \ \ \Rightarrow \ \ \alpha \ = \ \frac{5 \pi}{9} \ $ .

Otras soluciones permisible? Si permitimos $ \ \beta \ \neq \ \gamma \ $ y llame a $ \ \cos \Phi \ = \ \varphi \ $ , nuestra ecuación de segundo grado en $ \ \cos^2 \Theta \ - \ \varphi \ \cos \Theta \ + \ \frac{1}{4} = \ 0 \ $ , que tiene el potencial de soluciones

$$ \cos \Theta \ = \ \frac{\varphi \ \pm \ \sqrt{ \ \varphi^2 \ - \ 1 } } {2} \ \ . $$

Pero las soluciones reales de $ \ \cos \Theta \ $ sólo será posible aquí para $ \ \varphi \ = \ \cos \Phi \ \ge \ 1 \ $ . Así que la única solución para nuestra ecuación original es el que ya hemos encontrado con $ \ \varphi \ = \ 1 \ $ o $ \ \beta \ = \ \gamma \ $ .

Answer 2

creo que la respuesta es $\alpha = 100^\circ, \beta = 40^\circ$ $\gamma = 40^\circ$

aquí está mi intento de la solución. voy a utilizar un cambio de variable $$b = \beta+{1 \over 2}\gamma,\ c = \gamma + {1 \over 2}\beta$$ y las siguientes relaciones inversas $$\alpha = 180^\circ - {2 \over 3}(b+c), \ \beta = {4 \over 3}(b - {c \over 2})\ , \gamma = {4 \over 3}(c - {b \over 2}) $$ este cambio de variable se transforma $\sin({\alpha - \beta \over 2}) + \sin({\alpha - \gamma \over 2}) + \sin{3\alpha \over 2} = {3 \over 2}$ en un simétrica $2\pi$-periódico ecuación $$f(b,c)=\cos b + \cos c - \cos(b+c) = {3 \over 2}.$$ observe that $f = 1$ on the boundary and $f(b,b) = 2\cos b - \cos 2b = -2\cos^2 b + 2 \cos b +1$ is maximum $3/2$ en $b = \pi/3 \text{ and } 5\pi/3.$

vamos a mostrar que el máximo global de $f(b,c)$ sobre el cuadrado de $[0,2\pi] \times [0,2\pi]$ ${3 \over 2}$ $b = c = \pi/3.$

en un extremo, las derivadas parciales $$f_b = -\sin b + \sin(b+c) = 0,\ f_c = -\sin c + \sin(b+c) = 0$$

así que tenemos que solucionar $$\sin b = \sin c = \sin(b+c).$$ las soluciones se $$c = b, c = \pi - b, c = 3\pi - b $$

sólo en el caso de $c = b$ es relevante. tenemos $\sin b = \sin 2b$ un la solución es $\cos b = 1/2, \sin b = 0 $

ahora podemos transformar la $$b = c = 60^\circ$$ to the values for $\alpha, \beta$ and $\gamma$ reivindicada en la parte superior del poste.

Answer 3

Cuando cambiamos $\beta$ $\gamma$ en la ecuación, obtenemos la misma ecuación de la espalda. Para mí, eso significa que $\beta = \gamma+4k\pi$ donde $k$ es un número entero, es una tercera ecuación que podemos utilizar. Por supuesto, sólo $k=0$ satisface las restricciones que $\alpha+\beta+\gamma=\pi$$\alpha, \gamma, \beta>0$, ya que son los ángulos en un triángulo. No he sido capaz de deducir, pero $\alpha=5\pi/9$, $\beta=2\pi/9$, y $\gamma=2\pi/9$ no parece ser la solución.