Cómo evaluar $\int_0^1\frac{1+x^4}{1+x^6}\,dx$

Question

$$\int_0^1\frac{1+x^4}{1+x^6}\,dx$$

Alguien me puede ayudar a resolver la pregunta? Estoy luchando con esto.

Answer 1

RV gran respuesta, no obstante, y he aquí otra manera de usar el teorema de los residuos. Tenga en cuenta que

$$\int_0^1 dx \frac{1+x^4}{1+x^6} = \frac14 \int_{-\infty}^{\infty} dx \frac{1+x^4}{1+x^6}$$

La integral en el lado derecho es, por el teorema de los residuos, $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos de los polos de el integrando en la mitad superior del plano, o

$$\begin{align}i \frac{\pi}{2} \left (\frac{1+e^{i 4 \pi/6}}{6 e^{i 5 \pi/6}} + \frac{2}{6 i}+\frac{1+e^{i 20 \pi/6}}{6 e^{i 25 \pi/6}}\right ) &= i\frac{\pi}{6} \left (-i + e^{-i \pi/6} + e^{-i 5 \pi/6} \right )\\ &= \frac{\pi}{6} \left ( 1+2 \sin{\frac{\pi}{6}}\right ) \\ &= \frac{\pi}{3}\end{align}$$