Una forma directa de mostrar que 2-out-of-6 tiene la debilidad de sus equivalencias en un modelo de la categoría?

Question

En un modelo de la categoría, cuando la debilidad de las equivalencias son invertidos, nada más se invierte. De ello se desprende que la debilidad de equivalencias satsify 2-out-of-6. Pero la primera frase toma un poco de trabajo para mostrar. Es allí una manera más directa para demostrar 2-out-of-6?

Para referencia, 2-out-of-6 dice que si $v \circ u$ $w\circ v$ son débiles equivalencias, a continuación, $w\circ v \circ u$ es un débil equivalencia (en la luz de la 2-de-3, la conclusión es equivalente a decir que cualquiera de $u,v,w$ es un débil equivalencia). Esta propiedad aparentemente características en la definición de un homotopical categoría. Se desprende de la propiedad de arriba porque isomorphisms satisfacer 2-out-of-6, por lo que el preimages de isomorphisms bajo un functor también satsify 2-out-of-6.

Estoy interesado en tener una argumentación directa porque 2-out-of-6 lleva a una simple prueba de que si $f$ es un homotopy de equivalencia (es decir, no existe $g$ tal que $gf$ $fg$ son tanto, ya sea a la izquierda o a la derecha homotópica a los mapas de identidad), a continuación, $f$ es un débil equivalencia. Yo esperaría que esta hecho de tener una prueba simple, pero en realidad Dwyer-Spalinski y Hovey, al menos, sólo prueban directamente con algunos fibrancy/cofibrancy restricciones sobre los objetos involucrados. La prueba de uso de 2-out-of-6 va como esto: es fácil ver que si $h$ es de izquierda o de derecha homotópica a $k$, entonces si uno es débil equivalencia, a continuación, también lo es el otro; así que si $f$ ha homotopy inversa, a continuación, $fg$ $gf$ son tanto débil equivalencias, por lo que el 2-out-of-6 implica que $f$ $g$ son cada uno débil equivalencias.

Answer 1

Por alguna razón, tengo ganas de escribir esto, no es tan difícil realmente. La prueba de que he sketch es sólo lo que se obtiene si se relaja la prueba de saturación en Hovey. Me refiero a una secuencia $(w,v,u)$ de los que se puede componer mapas, como en la pregunta: quiero demostrar que si $wv$ $vu$ son débiles equivalencias, por lo que son los otros.

1. El caso especial cuando cualquiera de las $wv$ o $vu$ es un mapa de identidad es inmediata utilizando la 2-de-3 y retroceso de los axiomas. Por ejemplo, si $wv=1$, $u$ es un retractarse de $vu$.

2. En particular, podemos aplicar el punto (1) a $(s,r,s)$ al $rs=1$: si $sr$ es un débil equivalencia, por lo que se $r$$s$.

3. El problema general que realmente sucede en el modelo de la categoría de factorizations del mapa $wvu$. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, se puede reducir a la siguiente Afirmación: En cualquier modelo de la categoría, si $T'$ es débilmente equivalente a la terminal de objeto $T$, e $I'$ es débilmente equivalente a la inicial del objeto $I$, entonces cualquier mapa de $r\colon T'\to I'$ es un débil equivalencia (si es un mapa que existe). [E. g., $T'$ es $(wv,u)$, $I'$ es $(w,vu)$, e $r$$v$.]

4. Por un sencillo argumento usando factorización y 2-de-3, se puede mostrar que sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $I'$ $T'$ son cofibrant y que $r$ es un fibration.

5. Como $I\to I'$ es un trivial cofibration y $r\colon T'\to I'$ es un fibration, levantando el mapa de $r$ admite una sección de $s$, lo $rs=1_{I'}$.

6. 2-de-3 implica que cualquier auto-mapa de $T'\to T'$ $T'$ es un débil equivalencia, ya que el único mapa $T'\to T$ es un débil equivalencia.

7. Por lo tanto $sr\colon T'\to T'$ es un débil equivalencia por el punto (6), de donde $r$ debe ser un débil equivalencia por el punto (2), como se desee.