Orden de 5 Personas de Un equipo De 5 Personas del equipo B, y 5 Personas de equipo de C en línea

Question

Quiero calcular la probabilidad de que: cada uno de los candidatos se encuentra junto a al menos uno de los candidatos de su grupo.

Al principio pensé que restar de la $1$ la probabilidad de que cada equipo se mantiene unido,o restar la probabilidad de que al no estar juntos? Sin embargo, no es suficiente.

Nota: $15! $ - el Fin de todas las personas en línea.

Alguna sugerencia?

Gracias!

Answer 1

Las personas deben estar en grupos de dos, tres o cinco, porque de lo contrario uno de ellos estaría solo. Eso significa que cada equipo tendrá exactamente un grupo de cinco o de un grupo de dos y uno de tres. En primer lugar, debemos contar el número de maneras en que la gente se puede dividir en grupos.

Si hay tres grupos de cinco, entonces no se $1\cdot 6=6$ maneras. (por ejemplo, AAAAABBBBBCCCCC, AAAAACCCCCBBBBB, ...)

Si hay dos grupos de cinco, no se $3\cdot 2\cdot 6=36$ maneras. (por ejemplo, AAAAABBCCCCCBBB, AAAAABBBCCCCCBB, ...)

Del mismo modo, si hay un grupo de cinco, no se $6\cdot2^2\cdot6=144$ maneras. Si no hay grupos de cinco, no se $5\cdot2^3\cdot6=240$ maneras. Así, en total, hay $6+36+144+240=426$ maneras.

Ahora que los grupos son fijos asignar las personas a sus lugares. ($(5!)^3$ formas).

Por lo tanto, la probabilidad de que cada candidato se encuentra junto a otro candidato de su grupo es $\frac{426\cdot(5!)^3}{15!}=\frac{71}{126126}\approx 0.000562929...$.