Oscilador Armónico Simple Solución

Question

En Física, el Oscilador Armónico Simple es representada por la ecuación $d^2x/dt^2=-\omega^2x$ .

Mediante el polinomio característico, que las soluciones lleguen de la forma $x(t)=Ae^{i\omega t} + Be^{-i\omega t}$. Puedo conseguir que el uso de Euler fórmula $e^{i\theta}=cos\theta + isin\theta$, pero me parece que no puede encontrar mi camino todo el camino a la "forma tradicional" de $Dcos\omega t + Csin\omega t$.

Estoy atascado aquí: $A(cos\omega t + isin\omega t) + B(cos\omega t - isin\omega t)$. Lo que me estoy perdiendo en tomar todo el camino? No parece válida para mí (no sé por qué o por qué no) para hacer $C = iA - iB$.

Answer 1

Recuerde que $x(t) = A e^{i\omega t} + B e^{-i\omega t}$ es una solución para los valores de $A$ $B$ lo que significa que la elección de $A = B = 1/2$ resultados en la solución de $$ x_1(t) = e^{i\omega t} + e^{-i \omega t}. $$ Euler fomula, junto con las propiedades $\cos(-\omega t) = \cos(\omega t)$$\sin(-\omega t) = - \sin(\omega t)$, simplifica esta solución a $$ x_1 = \cos(\omega t). $$ Del mismo modo, la elección de $A = 1/(2i)$ $B = -1/(2i)$ da la solución $x_2(t) = \sin(\omega t)$.

Finalmente, por la linealidad se puede concluir que la combinación lineal $C x_1 + D x_2$ es también una solución.

Answer 2

las respuestas dadas son absolutamente bien, ya que muestran el camino de$e^{\pm \mathrm{i} \omega t}$$\sin$$\cos$.

Podría ser incluso menor si se usa la $$\sin(x) \equiv \frac{1}{2\mathrm{i}}\left( e^{\mathrm{i}x} - e^{-\mathrm{i}x} \right)$$ y $$\cos(x) \equiv \frac{1}{2}\left( e^{\mathrm{i}x} + e^{-\mathrm{i}x} \right)\, .$$

Esto puede ser interpretado como una definición de las funciones o visto desde su serie de definiciones.

Sinceramente

Robert