Demostrar que la función de $\sum_{n=1}^{\infty}z^{n!}$ no puede ser analíticamente continuó más allá de la unidad de disco

Question

Deje $f=\sum_{n=1}^{\infty}z^{n!}$. Mostrar que $f$ no puede ser analíticamente continuó más allá de la unidad de disco.

Mi pensamiento hasta el momento: considere la posibilidad de una raíz de la unidad, decir $r=e^{2\pi ik}$ donde $k$ es un número racional. Ahora, considere el camino de $t\rightarrow tr, t\in [0,1]$ quiero mostrar que la suma de $\lim_{t\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}f(tr) = \lim_{t\rightarrow 1^{-}}\sum_{n=1}^{\infty}t^{n!}e^{2\pi irn!}$ golpes. ¿Puedo usar la de Abel teorema de aquí? ¿Cómo puedo demostrar que la suma diverge?

Answer 1

Deje $\lambda_n:=n!$.

Debe quedar claro que el poder de la serie de $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}z^{\lambda_n}$ tiene radio de convergencia $1$.

Desde

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\lambda_n}=0,$$

Fabry la brecha teorema dice, que luego el círculo $|z|=1$ es el límite natural de $f$