La estimación de la suma a $\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^2(k)}$

Question

Integral de la prueba, es fácil ver que $$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^2(k)}$$ converge. [Aquí $\ln(x)$ denota el logaritmo natural, y $\ln^2(x)$ es sinónimo de $(\ln(x))^2$]

Estoy interesado en demostrar la siguiente desigualdad (preferiblemente usando cálculo integral) $$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^2(k)}>2$$

Por wolfram alpha, el valor real de la suma es sobre 2.10974. Desde $\frac{1}{k \ln^2(k)}$ está disminuyendo, tenemos
$$ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln^2(k)}\ge \int_2^{\infty} \frac{1}{x \ln^2(x)} dx=\frac{1}{\ln(2)}\approx 1.4427$$ Así que esta menor delimitada es más débil de lo deseado.

Mi motivación para hacer esta pregunta es que, por ser capaz de estimar este particular suma espero que me enseñe una técnica general que yo podría tratar de aplicar a las cantidades de la forma $\sum_{k=1}^{\infty} f(k)$.

Gracias!

Answer 1

\begin{align*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac1{k\ln^2k} &= \frac1{2\ln^22} + \frac1{3\ln^23} + \sum_{k=4}^{\infty} \frac1{k\ln^2k} \\ &\ge \frac1{2\ln^22} + \frac1{3\ln^23} + \int_4^{\infty} \frac{dx}{x\ln^2x} \\ &= \frac1{2\ln^22} + \frac1{3\ln^23} + \frac{1}{\ln4} > 2.038. \end{align*} (Veo a Andrew acabo de escribir esto en un comentario.)