Otra forma de hacer esto es utilizar caminos de longitud arbitraria. Moore definición original de esta era en términos de pares de $(r,f)$ donde $r \geqslant 0$ $f: [0, \infty) \to X$ es mapa, que es constante en $[r, \infty)$. Definimos $\partial ^-(r,f)= f(0), \partial^+(r,f)=f(r)$. La composición de la $(r,f)\circ (s,g)$ está definida si y sólo si $f(r)=g(0)$ y, a continuación, $(r+s,h)$ donde$h(t)= g(t)$$ 0 \leqslant t \leqslant s$$f(t-s)$$t \geqslant s$. La composición es asociativa, por lo que esto le da una estructura de categorías con las identidades de la forma $(0,f)$.
También se define $-(r,f)= (r,f')$ donde $f'(t) = ???$ (dejo esto como un ejercicio!).
Un homotopy $H: (r_0,f_0) \simeq (r_1,f_1)$ es un par de funciones continuas $$H_1: [0,1] \to [0,\infty), \quad H_2: [0,1] \times [0,\infty) \to X$$ such that for each $t \in [0,1]$, $H_2(t,s)$ is constant in $s$ for $s \geqslant H_1(t)$ and $H_1(0)=r_0, H_1(1)=r_1,$ $ H_2(0,s)=f_0(s),$ $H_2(1,s)= f_1(s)$. All this is to ensure that for all $ t \in [0,1]$, $(H_1(t),H_2(t,-))$ es un Moore camino.
Uno necesita esencialmente un solo diagrama y la fórmula para mostrar que $-(r,f) \circ (r,f)$ es homotópica a una identidad.
(Lo voy a pensar un poco como de cualquier mejora en este!)
Por tanto, se obtiene la fundamental groupoid $\pi_1 X$. Si $X$ no es ruta de acceso conectado, también se podría considerar $\pi_1(X,A)$, la completa subgroupoid en los puntos de $A \cap X$, donde por ejemplo, $A$ se compone de al menos un punto en cada componente de la ruta de $X$. De esta manera se sigue la regla general: no se deshaga de la información hasta que tienen que hacer. Por ejemplo, si $X = U \cup V$ $U \cap V$ no es ruta de acceso conectado, a continuación, usted no tiene ninguna regla para elegir un único punto de base. Así que elige como muchos como usted desea!
Editar El libro de Topología y Groupoids toma un poco diferente de la línea, en la definición de un camino de longitud $u$ $X$ a ser un mapa de $a: [0,u] \to X$. Una vez sale una categoría de caminos, con un revés, pero necesita una definición de homotopy diferente a la anterior. Es fácil definir un homotopy rel puntos finales de las rutas de la misma longitud $u$, como un mapa de $[0,u] \times [0,1]$$X$. Si $r,s \geqslant 0$ $a, b$ son caminos de longitud $u,v$, entonces se puede definir rutas de $r+a, s+b$ de la longitud de la $r+u,s+v$ respectivamente, donde $r+a$ denota el obvio camino de $[0,r+u] \to X$ que es constante en $[0,r]$ y el dado por $a$. Así se define el $a,b$ a ser homotópica rel puntos finales si hay $r,s \geqslant 0$ tal que $r+a, s+b$ son de la misma longitud y son homotópica rel puntos finales.
Os dejo a vosotros decidir el método que más te guste. La ventaja de Moore definición como pares es que conduce fácilmente a un espacio de $M(X)$ de Moore rutas en $X$ que contiene para cada $x \in X$ un bucle espacio de $\Omega(X,x)$ que es un estricto topológico monoid.
También escribí en arXiv:0909.2212 un tiro en Moore hyperrectangles.
