¿Por qué es $\pi_1(X,x_0)$ un grupo?

Question

Quiero mostrar que la $\pi_1(X,x_0)$ es un grupo.

Me han dicho que $e(t) := x_0$ es el elemento de identidad.

Ahora, estoy luchando para demostrar que es un elemento de identidad, y también que el inverso de un elemento da $e$.

Me siento como la opción obvia en la definición de un homotopy entre el $f\cdot e$ $f$ (para algunos path $f : [0,1] \mapsto X$) sería,

$F(s,t) := \begin{cases} f(\frac{2}{1+s}t) , \space 0\leq t \leq \frac{1+s}{2}\\ x_0 ,\space \frac{1+s}{2} \leq t \leq 1\\ \end{casos} $

Y del mismo modo la opción obvia para la definición de un homotopy entre el $e$ $f\cdot f^{-1}$ sería,

$G(s,t) := \begin{cases} f(2ts) , \space 0\leq t \leq \frac{1}{2}\\ g((2-2t)s) ,\space \frac{1}{2} \leq t \leq 1\\ \end{casos} $.

Pero no puedo demostrar que $F$ $G$ son continuas. Así que en primer lugar, estoy en la línea de la derecha? I. e son estos el derecho asigna a estar mirando. En segundo lugar: Si es así, ¿por qué es que son continuas?

Espero que puedan arrojar algo de luz! Gracias!

Editar :

Si puedo probar el siguiente, me gustaría hacer.

Quiero mostrar que cualquier función de $H : X\times Y \mapsto Z$ es continua si $H_x(y) := H(x,y)$ es continua para cada una de las $x \in X$ $H_y(x) := H(x,y)$ es continua para cada una de las $y \in Y$. Pero no puedo probar esto. Ni yo siquiera sé si es cierto!

Answer 1

Vamos $$A=\left\{(s,t)\in [0,1]^2\mid s\in[0,1], 0 \leq t\leq \frac{1+s}{2} \right\}$$ and let $$B=\left\{(s,t)\in [0,1]^2\mid s\in[0,1], \frac{1+s}{2} \leq t\leq 1 \right\}.$$

Tenga en cuenta que ambos son subconjuntos cerrados de la unidad de la plaza con los no-trivial de intersección (dado por una diagonal intervalo de$(0,\frac{1}{2})$$(1,1)$), y la unión de toda la unidad de la plaza.

$F|_A$ (la restricción de $F$$A$) es continua como $f$ es continua. $F|_B$ también es continua porque es una función constante. También tenemos que $F|_A$ está de acuerdo con $F|_B$ en la intersección de las $A$$B$, por lo que podemos utilizar el pegado lema para definir el único mapa continuo que restringe a$F|_A$$A$$F|_B$$B$. Este mapa es, por definición,$F$, y por lo $F$ es continua.

Answer 2

Otra forma de hacer esto es utilizar caminos de longitud arbitraria. Moore definición original de esta era en términos de pares de $(r,f)$ donde $r \geqslant 0$ $f: [0, \infty) \to X$ es mapa, que es constante en $[r, \infty)$. Definimos $\partial ^-(r,f)= f(0), \partial^+(r,f)=f(r)$. La composición de la $(r,f)\circ (s,g)$ está definida si y sólo si $f(r)=g(0)$ y, a continuación, $(r+s,h)$ donde$h(t)= g(t)$$ 0 \leqslant t \leqslant s$$f(t-s)$$t \geqslant s$. La composición es asociativa, por lo que esto le da una estructura de categorías con las identidades de la forma $(0,f)$.

También se define $-(r,f)= (r,f')$ donde $f'(t) = ???$ (dejo esto como un ejercicio!).

Un homotopy $H: (r_0,f_0) \simeq (r_1,f_1)$ es un par de funciones continuas $$H_1: [0,1] \to [0,\infty), \quad H_2: [0,1] \times [0,\infty) \to X$$ such that for each $t \in [0,1]$, $H_2(t,s)$ is constant in $s$ for $s \geqslant H_1(t)$ and $H_1(0)=r_0, H_1(1)=r_1,$ $ H_2(0,s)=f_0(s),$ $H_2(1,s)= f_1(s)$. All this is to ensure that for all $ t \in [0,1]$, $(H_1(t),H_2(t,-))$ es un Moore camino.

Uno necesita esencialmente un solo diagrama y la fórmula para mostrar que $-(r,f) \circ (r,f)$ es homotópica a una identidad.

(Lo voy a pensar un poco como de cualquier mejora en este!)

Por tanto, se obtiene la fundamental groupoid $\pi_1 X$. Si $X$ no es ruta de acceso conectado, también se podría considerar $\pi_1(X,A)$, la completa subgroupoid en los puntos de $A \cap X$, donde por ejemplo, $A$ se compone de al menos un punto en cada componente de la ruta de $X$. De esta manera se sigue la regla general: no se deshaga de la información hasta que tienen que hacer. Por ejemplo, si $X = U \cup V$ $U \cap V$ no es ruta de acceso conectado, a continuación, usted no tiene ninguna regla para elegir un único punto de base. Así que elige como muchos como usted desea!

Editar El libro de Topología y Groupoids toma un poco diferente de la línea, en la definición de un camino de longitud $u$ $X$ a ser un mapa de $a: [0,u] \to X$. Una vez sale una categoría de caminos, con un revés, pero necesita una definición de homotopy diferente a la anterior. Es fácil definir un homotopy rel puntos finales de las rutas de la misma longitud $u$, como un mapa de $[0,u] \times [0,1]$$X$. Si $r,s \geqslant 0$ $a, b$ son caminos de longitud $u,v$, entonces se puede definir rutas de $r+a, s+b$ de la longitud de la $r+u,s+v$ respectivamente, donde $r+a$ denota el obvio camino de $[0,r+u] \to X$ que es constante en $[0,r]$ y el dado por $a$. Así se define el $a,b$ a ser homotópica rel puntos finales si hay $r,s \geqslant 0$ tal que $r+a, s+b$ son de la misma longitud y son homotópica rel puntos finales.

Os dejo a vosotros decidir el método que más te guste. La ventaja de Moore definición como pares es que conduce fácilmente a un espacio de $M(X)$ de Moore rutas en $X$ que contiene para cada $x \in X$ un bucle espacio de $\Omega(X,x)$ que es un estricto topológico monoid.

También escribí en arXiv:0909.2212 un tiro en Moore hyperrectangles.