$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ha subgrupo cíclico de cada entero positivo $n$?

Question

Me gustaría saber si $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z},+)$ ha

$1$. Cíclico de los subgrupos de cada entero positivo $n$?

$2$. Sí, único.

$3$. Sí, pero no necesariamente la única.

$4$. No tiene subgrupo cíclico de cada entero positivo $n$.

Lo que yo sé sobre el grupo dado es infinita grupo, pero cada elemento tiene orden finito. Por favor, ayudar cómo proceder.

Answer 1

SUGERENCIA. El orden de un elemento $p/q \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es el menos $n$ tal que $\underbrace{p/q+\cdots+p/q}_{n\text{ times}}$ es un número entero.

Answer 2

En virtud de la identificación $$ \frac{\Bbb R}{\Bbb Z}\stackrel{\sim}\longrightarrow S^1\simeq \{\text{$z\in\Bbb C$ tal que $||z||=1 $}\},\quad r+\Bbb Z\mapsto e^{2\pi i r} $$ el grupo ${\Bbb Q}/{\Bbb Z}$ es identificado por el grupo $\mu(\Bbb C)$ de las raíces complejas de 1. Por lo tanto, un primitivo $n$-ésima raíz de $\zeta_n$ corresponde a un elemento en ${\Bbb Q}/{\Bbb Z}$ de orden exacto $n$.

Por otra parte, sabemos que cada subgrupo finito de el grupo multiplicativo $\Bbb C^\times$ es cíclico. Por lo tanto sólo hay un subgrupo de $\mu(\Bbb C)$ orden $n$, y lo mismo es cierto para ${\Bbb Q}/{\Bbb Z}$.

Answer 3

Tal y como figura aquí, $\mathbb{Q} / \mathbb{Z} \simeq \bigoplus\limits_{p \in \mathbb{P}} \mathbb{Z}[p^{\infty}]$ (su descomposición canónica como un múltiplo del grupo).

Deje $p_1^{n_1} \dots p_r^{n_r}$ ser el primer descomposición de $n$. Para cada una de las $1 \leq j \leq r$, vamos a $\displaystyle \zeta_j=\exp \left(i \frac{2k_j \pi}{p_j^{n_j}} \right)$ ser un elemento de $\mathbb{Z}[p_j^{\infty}]$ $k_j$ no divisible por $p_j$. Set $\zeta=\zeta_1 \dots \zeta_r$.

Ahora, $\text{ord}(\zeta)=\prod\limits_{i=1}^r \text{ord}(\zeta_i)= \prod\limits_{i=1}^r p_i^{n_i}=n$$\langle \zeta \rangle = \bigoplus\limits_{i=1}^r \langle \zeta_i \rangle$.

Por supuesto, hay una opción para cada una de las $k_j$, pero no cambia el $\langle \zeta_j \rangle$. De hecho, vamos a $\zeta_1=\exp \left(i \frac{2k_1\pi}{p^n} \right)$ $\zeta_2= \exp \left( i \frac{2k_2\pi}{p_n} \right)$ donde $k_1$ $k_2$ no son divisibles por $p$. El uso de Bezout igualdad, hay $u,v \in \mathbb{Z}$ tal que $uk_1+vp^{n}=1$ por lo tanto $k_2=uk_1k_2+vk_2p^n$. Por lo $\zeta_2= \zeta_1^{uk_1}$, es decir. $\zeta_2 \in \langle \zeta_1 \rangle$. Por simetría, $\zeta_2 \in \langle \zeta_1 \rangle$. Por lo tanto, $\langle \zeta_1 \rangle=\langle \zeta_1 \rangle$.

Finalmente, uno deduce que $\mathbb{Q}/ \mathbb{Z}$ tiene un único subgrupo de orden $n$.