Hay una equivalencia entre las muchas ventajas de una distribución con alta varianza y un único sorteo de una distribución con baja varianza?

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria Gaussiana $X \sim N(\mu,\lambda^{-1})$$\lambda > 1$. Sé $\lambda$, pero la media es desconocida. Estoy de sorteo de una vez de esta tribulación y el uso de la observación, por ejemplo, la regla de Bayes y una antes de la forma de una creencia de la media de la distribución. Alternativamente, supongamos que la variable aleatoria se distribuye de acuerdo a $N(\mu,1)$, es decir. con una mayor varianza, pero yo era capaz de dibujar $n > 1$ veces de ella. Hay una relación entre el $\lambda$ $n$ que puedo aprovechar para determinar cuando estos dos escenarios sería equivalente?

Intuitivamente, me parece que el dibujo de una vez de una manera más rigurosa la distribución debe ser equivalente a dibujar varias veces a partir de una distribución más amplia, pero no puedo poner mi dedo en cómo me gustaría ir tratando de deducir una relación.

Answer 1

Son equivalentes si usted está interesado sólo en la inferencia de $\mu$.

Dado que la varianza es conocida, $95\%$ intervalo de confianza para la media (suponiendo que las observaciones son independientes) está dada por

$$\bar X \pm \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{\lambda n}}$$

Mientras $\lambda_1 n_1 = \lambda_2 n_2$, entonces en este sencillo ejemplo podemos afirmar que las muestras contienen la misma cantidad de información para $\mu$.

Para responder directamente a su pregunta, establezca $n_1 = 1$$\lambda_1 = \lambda$. Entonces podemos escribir $$\lambda_2 = \lambda \frac{1}{n_2}$$ So with a second data point, you would need to halve $\lambda$, etc. En un Bayesiano de ajuste, la relación puede cambiar de acuerdo a la previa, pero existe una relación, no obstante.