Mostrar que $3+2\sqrt2$ tiene una infinidad de orden en el grupo multiplicativo de las unidades de $\Bbb{Z}[\sqrt2]$

Question

Tenía una pregunta para las dos primeras partes de esta pregunta aquí. Me dijeron que para publicar una nueva pregunta para las dos últimas partes. Tengo una sugerencia respecto a la pregunta, pero no estoy seguro de cómo se relaciona. He aquí la sugerencia:

Si $a^n=1$,$|a^n|=1$. Si $0<a<1$, ¿qué $|a^n|$ se refieren a $|a|$ para un entero positivo n? Si $|a|>1$, ¿qué $|a^n|$ se refieren a $|a|$ para un entero positivo n?

Entiendo que $a^n<a$ $0<a<1$ y $a^n>a$$a>1$, pero no veo cómo eso se relaciona con la pregunta.

La última parte de la pregunta es: Mostrar que -1 y 1 son las únicas unidades de $\Bbb{Z}[\sqrt2]$ que han finito de orden en $\Bbb{Z}[\sqrt2]^\times$.

Answer 1

Simplemente muestran que en la representación de $(3+2\sqrt{2})^n=a+b\sqrt{2}$ que $a>1$ siempre. Pero esto es fácil, utilice el teorema del binomio para ver

$$(3+\sqrt{2})^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}2^{k/2}3^{n-k}$$

Entonces tenemos

$$a=\sum_{k=0}^{n/2}{n\choose 2k}2^k3^{n-2k}>3.$$

Así que no es de orden finito.

Para ver la última parte de su pregunta, tenga en cuenta que $m^2-2n^2=1$ finito de orden significa

$$(m+n\sqrt{2})^k=1$$

y de nuevo, si $m,n>0$, entonces podemos recurrir al mismo argumento, como podemos si $m,n<0$. Así que tenemos que $mn<0$ o $mn=0$. Claramente si $mn=0$ tenemos $m=\pm 1$, por lo que el caso es muy fácil, si $mn<0$, entonces el WLOG asumen $m>0$ y tenga en cuenta que $m-n\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^{-1}$ $m+n\sqrt{2}$ tiene orden finito iff $m-n\sqrt{2}$ hace, y esta vez es imposible, ya que aquí con $n'=-n$ habría que mostrar que $m+n'\sqrt{2}$ tiene orden finito con $m,n>0$ una contradicción.

Answer 2

Me interpretar su condición en el orden finito $n$$a$$a^n = 1$ . Pero entonces el problema se vuelve simplemente un campo teórico : el campo de $\mathbf Q (\sqrt 2)$ integrable en $\mathbf R$, la única raíces de la unidad que contiene son $\pm 1$. Esto responde al mismo tiempo a sus preguntas. Tenga en cuenta que su elemento integrante $3+2 \sqrt 2 $ es una unidad de $\mathbf Z [\sqrt2]$ porque tiene norma $1$.

Answer 3

Desde $$ \frac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2} $$ si $(3+2\sqrt{2})^n=1$,$(3-2\sqrt{2})^n=1$. Supongamos que $$ (3+2\sqrt{2})^n=(3-2\sqrt{2})^n $$ Entonces $$ \left(\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}\right)^n=1 $$ que es $$ (17-12\sqrt{2})^n=1 $$ Por lo tanto $$ \sum_{0\le k\le n}\binom{n}{k}(-1)^k17^{n-k}\cdot12^k\cdot(\sqrt{2})^k=1 $$ y así $$ -1+\sum_{\substack{0\le k\le n\\k\text{ par}}} \binom{n}{k}17^{n-k}\cdot12^k\cdot(\sqrt{2})^k= \sum_{\substack{0\le k\le n\\k\text{ impar}}} \binom{n}{k}17^{n-k}\cdot12^k\cdot(\sqrt{2})^k $$ El lado izquierdo es el racional, el lado derecho no es menos $n=1$.