Solucionar $2p+6=n^3$

Question

¿Cómo puedo probar que si $p$ es un número primo, no hay una única solución de la ecuación

$$2p+6=n^3$$

donde $n$ es un número entero?

Sé que $p=29$ es la solución, pero no sé cómo demostrar que es el único. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

No es la única solución: $10973$ es el primer y $2\cdot10973+6=28^3$.

Answer 2

Motivados por Arentino de observación, aquí están algunas otras soluciones como siempre por Mathematica 10 (todas las soluciones para $n\le 1000$). Que se enumeran en el formulario de $\{n,p\}$. Aquí está el código:

Do[If[PrimeQ[(n^3 - 6)/2], Print[{n, (n^3 - 6)/2}]], {n, 2 Range[500]}]

{4,29}

{28,10973}

{32,16381}

{44,42589}

{50,62497}

{58,97553}

{98,470593}

{128,1048573}

{148,1620893}

{154,1826129}

{172,2544221}

{182,3014281}

{224,5619709}

{242,7086241}

{254,8193529}

{268,9624413}

{274,10285409}

{280,10975997}

{302,13771801}

{322,16693121}

{358,22941353}

{394,30581489}

{428,39201373}

{442,43175441}

{452,46172701}

{508,65548253}

{518,69495913}

{568,91625213}

{574,94559609}

{592,103737341}

{604,110174429}

{610,113490497}

{620,119163997}

{694,167127689}

{722,188183521}

{728,192914173}

{730,194508497}

{760,219487997}

{764,222971869}

{784,240945149}

{788,244651933}

{802,257924801}

{812,267693661}

{814,269676569}

{830,285893497}

{938,412646833}

{994,491053889}