Una métrica que hace $l^ \infty $ separable

Question

Sé que "El espacio métrico $l^ \infty $ no es separable con la métrica definida entre dos secuencias $\{a_1,a_2,a_3 \dots\ }$ y $\{b_1,b_2,b_3, \dots\ }$ como $ \sup\limits_ {i \in\Bbb {N}}|{a_i-b_i}|$ .

Ahora quiero saber: ¿hay alguna otra métrica en $l^ \infty $ que hace que este espacio sea separable, o, más en general, ¿hay alguna métrica que haga que cualquier espacio sea separable?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

con algo como $$ d(x,y)= \sum_n2 ^{-n}|x(n)-y(n)|, $$ la colección de secuencias delimitadas es separable, por ejemplo, el tramo racional de la "base normalizada" $e_k(n)= \delta_ {kn}$ es denso.

Como se señala en los comentarios, la topología generada por esta métrica es la de la convergencia puntual (es decir, secuencias delimitadas como un subespacio de $ \mathbb {R}^{ \mathbb {N}}$ con la topología del producto).

Answer 2

Esta respuesta se refiere al problema más general.

Reclamar: Un conjunto no vacío $X$ puede ser dotado de una topología separable y metrizable si y sólo si $\# X \leq\mathfrak \# \mathbb R$ .

Prueba: Mi comentario anterior explica la necesidad. En cuanto a la suficiencia, supongamos que $\# X \leq\mathfrak \# \mathbb R$ y dejar $f:X \to \mathbb R$ ser una función inyectada. Que $Y \equiv f(X)$ . Considere la topología $ \tau $ en $X$ generados por conjuntos de la forma $\{f^{-1}(U)\,|\,U \subseteq Y, \text { $ U $ open in the relative topology}\}$ . Entonces.., $f$ se convierte en un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ donde $Y$ está dotado de la topología relativa inducida por la topología estándar de Euclides en $ \mathbb R$ . Está claro que esta topología en $Y$ es $T_1$ y regular, y segundo contable y por lo tanto también lo es la topología $ \tau $  en $X$ . Ahora invoca El teorema de metrización de Urysohn para concluir que $(X, \tau )$ es un espacio topológico separable y metrizable. $ \blacksquare $

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En particular, $\# \ell ^{ \infty }=\# \mathbb R$ así que...