Expresan $\mathbb{R} P^3$ como un paquete de fibra de

Question

Esta pregunta surgió en horario de oficina con mi topología diferencial profe y desde entonces casi me he asentado en una respuesta.

La pregunta era si se podía escribir $\mathbb{R} P^3$ como un haz de fibras con base espacio de $\mathbb{R} P^2$. Pasamos unos momentos pensando en ello antes de decidir que no era relevante para la conversación en la mano y se fue. Desde entonces he hecho un poco de lectura y a ser consciente de un resultado que dice que si $M, N$ son compactos y conectado suave colectores e $f:M\rightarrow N$ es una inmersión, entonces las fibras de $f$ son todos diffeomorphic a un colector $F$, y esto da lugar a una fibra bundle con el espacio total $M$, fibra $F$ y base $N$. Después de eso, escribí una función

$$f: \mathbb{R}P^3 \rightarrow \mathbb{R}P^2$$

definido en coordenadas homogéneas por

$$(x,y,z,w) \mapsto (x,y,z).$$

$f$ está bien definido, suave, y a menos que me he hecho un tonto error en el cálculo de Jacobians es también una inmersión. Ahora, estoy teniendo problemas para entender lo que la preimagen $f^{-1}(p)$ $p \in \mathbb{R}P^2$ es. Es, simplemente, $\mathbb{R}$ o es algo más complicado que eso?

Answer 1

Deje $f:S^3 \to S^2$ ser el de Hopf mapa, y $\pi:S^3 \to \mathbf{RP}^{2}$ la composición con la proyección de $S^2 \to \mathbf{RP}^{2}$. El mapa de $\pi$ envía antípodas de $S^{3}$ en el mismo lugar (desde el mapa de Hopf collepses ecuatorial círculos), por lo $\pi$ factores a través de la proyección de $S^{3} \to \mathbf{RP}^{3}$. Es "claro" de esta manera se expresa $\mathbf{RP}^{3}$ como un paquete de más de $\mathbf{RP}^{2}$ cuyas fibras son pares de círculos.

Añadido en edit: no pude conseguir @Sanath Devalapurkar de la idea (el uso de $SO(3)$), probablemente debido a que las fibras no son subgrupos, pero sí sugieren una alternativa, y sin duda más geométrica/primaria de la construcción. Ver $\mathbf{RP}^{3} \simeq SO(3)$ como el espacio total $US^{2}$ de la unidad de círculo paquete de más de $S^2$. (La primera columna de $A_{1}$ de una matriz de $A$ $SO(3)$ es un vector unitario, un.k.un., punto de $S^2$, y la segunda columna $A_{2}$ es un vector unitario ortogonal, una.k.un., una unidad de vector tangente a $A_{1}$; desde $\det A = 1$, estas columnas únicamente determinan $A_{3} = A_{1} \times A_{2}$.) El fibration $US^{2} \to \mathbf{RP}^{2}$ en cuestión es la proyección de la $US^{2} \to S^2$, seguido por el cociente $S^2 \to \mathbf{RP}^{2}$; la fibra de más de un punto de $[p]$ $\mathbf{RP}^{2}$ es el par de círculos de unidad sobre la antipodal puntos de $\{p, -p\}$$S^2$.