Ruta integral de la derivación del estado-operador de correspondencia en un CFT

Question

A continuación, parafraseo de la ruta integral de la derivación del estado-operador de correspondencia en David Tong notas sobre el CFT (ver pdf aquí). Esta es mi interpretación del texto en pdf, así que por favor me corrija si estoy equivocado

Él comienza con la fórmula estándar para el tiempo de evolución de la función de onda en la ruta integral de formalismo $$ \psi[ \phi_f(x),t_f] = \int [d\phi_i(x)] \int\limits_{\phi(x,t_i) = \phi_i(x)}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }[d\phi(x,t)] \exp \left[ \frac{i}{\manejadores } \int_{t_i}^{t_f} dt' L \right] \psi[ \phi_i(x) , t_i ] $$ Ahora, consideramos que un radialmente cuantificada CFT, en donde la dirección es radial. Además, tomamos $t_i = 0$ en la ecuación anterior. Ya que esto corresponde al origen del plano radial, el apriori de la función $\phi_i(x)$ se reduce a un número $\phi_i$. El camino de la integral se reduce entonces a $$ \psi[ \phi_f(x),t_f] = \int d\phi_i \int\limits_{\phi(0) = \phi_i}^{\phi(x,t_f) = \phi_f(x) }[d\phi(x,t)] \exp \left[ \frac{i}{\manejadores } \int_{0}^{t_f} dt' L \right] \psi(\phi_i , 0) $$ A continuación, dijo y cito

El único efecto de que el estado inicial es ahora para cambiar la ponderación de la ruta integral en el punto de $z = 0$. Pero eso es exactamente lo que queremos decir por un operador local insertado en ese punto.

Alguien me puede ayudar a entender por qué esto es lo que entendemos por un operador local inserta en ese punto? Me siento como yo entiendo la declaración, en principio, pero me gustaría una descripción más precisa. En otras palabras, lo que realmente me gustaría es una construcción explícita del operador cuya inserción en un determinado camino integral sería reproducir la ecuación anterior.

PS - UNA referencia a un documento es suficiente.

Answer 1

La inserción de un operador local significa multiplicar el integrando de la ruta integral por parte de un operador con posición fija. De esta manera, sólo el valor de la operadora en esta posición contribuye a la ruta integral. Si ahora suponga que el operador es una inserción en la posición $z=0$, que en el contexto actual de la radial de cuantización se corresponde con el punto inicial en el tiempo, simplemente juega el papel de un factor de peso. El concepto es comprensible a partir de las fórmulas escribió: en la primera, tiene la forma general donde $t_i$ arbitrarias, y que en la segunda restringir el operador a una posición determinada $t_i=0$, por lo tanto, "localización".

Con respecto a una referencia te puedo recomendar el capítulo dos de Polchinski: se analizan las inserciones, tanto en un contexto general y en su aplicación a la radial de cuantización y el operador/estado de la correspondencia.

Answer 2

El siguiente fue destinado a ser un comentario en lugar de una respuesta. Sin embargo, desde que se fue un poco largo para un comentario lo estoy escribiendo en el cuadro de respuesta.

En el caso de una teoría de campo, los estados pueden ser considerados como funciones en el espacio de las condiciones de contorno en un espacio de la rebanada. Esto es así porque el espacio de las condiciones de contorno en un espacio slice es el espacio de configuración y (por la definición de cuantización canónica) los estados cuánticos son funciones en el espacio de configuración.

Ahora, en el caso de una teoría del campo en el plano complejo con la dirección radial toma como el tiempo de dirección, espacial rebanadas son de la forma de cirlces. Por lo tanto, los estados cuánticos son ahora funciones en el espacio de las condiciones de contorno en un círculo de radio fijo. Podemos elegir cualquier círculo de cero radio para definir nuestro espacio cuántico.

Si denotamos por a $H$ nuestro espacio de estados, a continuación, la ruta integral en un anillo se $A$ fija las condiciones de contorno en su interior y exterior de los límites de los círculos, define un mapa

$$T_A : H\to H$$

Esta es la declaración de la primera integral en su pregunta. Dado un estado en el límite interior del círculo, se puede obtener un estado en el límite exterior del círculo, haciendo la ruta integral.

Ahora, en lugar de un anillo, considere la posibilidad de un disco. En este caso sólo tenemos un límite. Si insertamos un local funcional $\mathcal{O}(\phi(0),\partial_{z}\mathcal{O}(0))$ en el origen y hacer la ruta integral en todo el disco, a continuación, vamos a por supuesto, obtener un estado cuántico en $H$ (fijación de una condición de contorno y, a continuación, haciendo la ruta integral nos dará un número. Por lo tanto, la ruta integral dará una función en el espacio de las condiciones de contorno en la frontera del disco que es, por definición, un estado cuántico). Por lo tanto, la ruta integral en el disco $D$ (de decir radio de la unidad) con un local funcional inserta en el origen definirá un mapa

$$T_{D}:\{\text{space of local functionals at the origin}\}\to H$$

Esto se aplica en cualquiera de las dos dimensiones de la teoría de campo. Sin embargo, en el caso de la teoría conforme de campos, el mapa de la parte superior de la dependencia de la geometría del disco es mucho más sencillo que en una teoría sin la conformación de la simetría.