Un % de desigualdad $\,\, (1+1/n)^n<3-1/n \,$usando inducción matemática

Question

Se ha demostrado en aquí que $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < n$$n>3$. Creo que nos puede venir para arriba con un mejor obligado, como sigue:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le 3-\frac{1}{n}$$ para todo número natural $n$.

El resultado es verdadera para todo número real $\ge 1$, la cual puede ser demostrado mediante cálculo. Me pregunto si el resultado anterior se puede probar usando inducción matemática?

He intentado pero no! De todos modos, esta cuestión también es inspirado por, y en relación con esta cuestión.

Editar:

También me pareció que $$\left(1+\frac{1}{n+k}\right)^n \le 3-\frac{k+1}{n}$$ for all natural number $k$, some large $N$ and $n > N$. This implies that $$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n \le 2-\frac{1}{n}.$$

Y de nuevo, yo no puedo probar ninguna de ellas usando Inducción Matemática.

Answer 1

Pruebo esta desigualdad no utiliza la inducción, pero creo que esta prueba prueba también primaria, ya que esta prueba no utiliza cálculo.

$$\begin{array}{lcl} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n &=& 1+\binom{n}{1} \frac{1}{n}+ \sum_{k=2}^n\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}\\ &=&2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}\\ &\le& 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \le 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \\ &=& 3-\frac{1}{n} \end{matriz} $$