Si $f$ es dos veces diferenciable y $f(2^{-n}) = 0 $, para todos los $n \in \mathbb N$,$f^\prime(0) = f^{\prime\prime}(0) = 0$.

Question

Deje $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ser una doble función derivable, tal que $f(2^{-n}) = 0$, para todos los $n \in \mathbb N$ . Mostrar que $$f^\prime(0) = f^{\prime\prime}(0) = 0.$$

Mi intento. En primer lugar, vamos a mostrar que $f(0) = 0$ . Desde $f$ es dos veces diferenciable, es también continua. Supongamos $f(0) = k$ donde $k \ne 0$ . Luego hay un $\delta > 0$ de manera tal que cada vez que $x \in (-\delta,\delta)$ , $f(x) \in (k/2,3k/2)$ . Pero $f(2^{-n}) = 0 $ para todos los enteros positivos valores de $n$ . Así pues, tenemos una contradicción, como no $\delta$ trabaja para $f$ ser continua en $x=0$ . Por lo tanto $f(x) = 0$.

$f(x)$ es diferenciable , por lo $f^\prime(x)$ es continua. Supongamos $f^\prime (0) = m$ tal que $m\neq0$ , luego por la continuidad de la $f^\prime(x)$ no es un porcentaje ($\delta$de manera tal que cada vez que $x \in (-\delta,\delta)$ , $f^\prime(x) \in (m/2,3m/2)$ . Elegir un $N$ tal que $2^{-N} < \delta$ . Ahora, $\int_{x=0}^{1/2^N} f^\prime(x) = f(2^{-N}) - f(0) = f(2^{-N})$ (estoy confundido si esta integral existe o no existe ,como en el si $f^\prime(x)$ es integrable o no en el intervalo estoy usando) . Ahora $\int_{x=0}^{1/2^N} f^\prime(x) > m/2(1/2^N)$ como la integral sería mayor que el rectángulo formado el uso de un límite inferior para el valor de $f$ en el intervalo. Por lo tanto $\int_{x=0}^{2^{-N}} f^\prime(x) > 0$ e lo $f(2^{-N}) > 0$, pero esto es una contradicción, como $f(2^{-N}) = 0$ por la definición de la función. Así pues, tenemos una contradicción y, por lo tanto, $f^\prime(0)$ no puede ser distinto de cero.

Podemos proceder de forma similar a demostrar que $f^{\prime\prime}(0) = 0$ .

Es mi enfoque correcto, ¿hay una mejor manera de demostrarlo ? No estoy seguro de si mi solución es correcta ya que no estoy seguro de que el uso de las integrales de la forma en que la he usado. Gracias.

Answer 1

Su enfoque puede ser fijo. Esto también puede ser mostrado usando el Valor medio Teorema (MVT).

El uso de MVT, obtenemos que $$ 0=f(2^{-n})-f(2^{n-1})=2^{n-1}f'(x_n), $$ para algunos $x_n\in (2^{-n-1},2^{-n})$. Por lo tanto podemos definir a la $\{x_n\}_{n=1}^\infty$, de tal manera que $x_n\to 0$$f'(x_n)=0$, para todos los $n\in\mathbb{N}$, lo que implica la continuidad de la $f'$, que $$ f'(0)=\lim_{n\to\infty} f'(x_n)=0. $$

Desde $f'$ es diferenciable en a $x=0$, e $x_n\to 0$, luego $$ 0=\lim_{n\to \infty}\frac{f'(x_n)-f'(0)}{x_n}=\lim_{h\to 0}\frac{f'(h)-f'(0)}{h}= f"(0). $$

Nota. Si se le ha dado ese $f$ $k$ veces diferenciable, entonces este método explicado anteriormente, establece que el $f^{(j)}(0)=0$, para todos los $j=1,2,\ldots,k$.