¿Diferentes definiciones del anillo de Novikov?

Question

Siguiendo, por ejemplo, Definiciones de Wikipedia el anillo de cohomología cuántica (pequeño) de $X$ se define sobre un "anillo de Novikov" formado por series de potencias formales de la forma $$ \sum_{\beta \in H_2(X;\mathbb{Z})} a_\beta e^\beta,$$ donde el $a_\beta$ están en algún anillo fijo (que probablemente suele ser $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{C}$ ).

Por otro lado, en los trabajos de Fukaya y compañía, por ejemplo, parece haber un "anillo de Novikov" diferente, que consiste en series de potencias de la forma $$\sum_{i=1}^\infty a_i T^{\lambda_i},$$ donde $a_i \in \mathbb{Q}$ , $\lambda_i \in \mathbb{R}$ y $\lim_{i \to \infty} \lambda_i = \infty$ .

¿Qué pasa con esto? ¿Por qué hay aparentemente dos anillos Novikov diferentes? ¿Cómo puedo conciliar esto? Supongo que el $\lambda_i$ en la segunda definición debería corresponder a algo como $\int_\beta \omega$ donde $\beta$ es como en la primera definición (y donde $\omega$ es la forma simpléctica), pero más allá de esto no estoy seguro...

Answer 1

Si lees por ahí, encontrarás muchas otras variantes del anillo de Novikov... El punto subyacente es que para aplicar el teorema de compacidad de Gromov (o su contraparte algebraica) se necesita un límite en la energía (= área simpléctica) de las esferas holomorfas ridículas. Como no hay una cota a priori en general, se cuentan las curvas según su área, o según algún refinamiento de la misma, como la clase de homología.

Su idea es correcta: si fijamos un campo base $k$ el homomorfismo $H_2(X)/tors. \to \mathbb{R}$ dado por el emparejamiento con $[\omega]$ induce un homomorfismo del grupo completo $k$ -álgebra en $H_2(X)/tors.$ al "campo universal de Novikov" (es decir, el campo de las series $\sum_{\lambda \in \mathbb{R}}{a(\lambda)T^\lambda}$ donde el apoyo de $a \colon \mathbb{R}\to k$ sólo contiene un número finito de reales menores que cualquier $C$ ). Después de hacer una pequeña perturbación a $\omega$ cambiando su clase de cohomología, podemos hacer que este homomorfismo sea inyectivo. Si no me falla la memoria, el anillo de Novikov más pequeño es un PID, y el campo universal de Novikov es plano sobre él porque es un módulo sin torsión sobre un PID. Así que se puede tensor con seguridad después de pasar a la cohomología.

Las ventajas del campo universal de Novikov son que es universal (es decir, más grande, esencialmente), que es un campo y que viene con una valoración natural. La desventaja es que es más grande de lo estrictamente necesario.

Answer 2

Debemos pensar en $T$ el generador del anillo de Novikov, como una coordenada en el espacio de moduli de las estructuras simplécticas $\mathcal M_{sym}(X)$ . Podemos definir $<\cdots>_g^\psi:=\sum_\beta<\cdots>_{g,\beta}^\psi e^{-\omega(\beta)}$ pero no sabemos si el lado derecho converge y entonces ponemos $T^{\omega(\beta)}=e^{-(-\log T\omega)(\beta)}$ y podemos pensar que es el límite del gran volumen, es decir, la vecindad del punto singular en $\mathcal M_{sym}(X)$ donde $\omega\to \infty$

Para un $J$ -curva holomórfica $u$ tenemos $E(u)=ω([u])=∫_Σu^∗ω≥0$ y debemos tomar $λ_i≥0$ . Además, si $ω$ pertenece a una clase de cohomología integral, entonces $ω(β)∈\mathbb Z_{≥0}$ y podemos sustituir el anillo de Novkov por $\mathbb Q[[T]]$

Véase el documento de Denis Auroux de Denis Auroux https://arxiv.org/pdf/0902.1595.pdf .