proceso integral es martingala

Question

Cómo mostrar que el proceso de $X_t=tW_t - \int_0^t W_s ds $ es una martingala?

Supongo que tengo que utilizar la definición de la martingala y propiedades de Wiener proceso, pero no de la pila con esta integral. Por favor, ayúdame. Lo que he hecho:

$E(X_t|F_r)=E(tW_t- \int_0^t W_s ds|F_r)=tE(W_t-W_r|F_r)+tE(W_r|F_r)-E(\int_0^t W_s ds|F_r)=tE(W_t-W_r)+tW_r-E(\int_0^t W_s ds|F_r)=tW_r-E(\int_0^t W_s ds|F_r)$

Answer 1

Queremos mostrar que $X_t = tW_t - \int_0^t W_s \mathrm{d}s$ es una martingala. Deje $r\leq t$ $$ \mathbb{E}[X_t\ | \ \mathcal{F}_r]= \mathbb{E}[tW_t\ |\ \mathcal{F}_r] - \mathbb{E}\left[\int_0^t W_s \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right]. $$

Como notado $$\mathbb{E}[tW_t\ |\ \mathcal{F}_r] = \mathbb{E}[t(W_t-W_r) + tW_r\ |\ \mathcal{F}_r] = t \underbrace{\mathbb{E}[W_t - W_r \ | \mathcal{F}_r]}_{=\mathbb{E}[W_t-W_r] = 0} + t \underbrace{\mathbb{E}[W_r\ |\ \mathcal{F}_r]}_{=W_r} = tW_r,$$ ahora tomamos la segunda parte, que es, $$\begin{align*}\mathbb{E}\left[\int_0^t W_s \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right] =& \mathbb{E}\left[\int_0^r W_s \mathrm{d}s + \int_r^t W_s \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right] \\=& \mathbb{E}\left[\int_0^r W_s \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right]+ \mathbb{E}\left[\int_r^t W_s \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right] \\ =& \int_0^rW_s \mathrm{d} s + \mathbb{E}\left[\int_r^t W_r + (W_s-W_r) \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right] \\ =& \int_0^r W_s \mathrm{d}s + \mathbb{E}\left[\int_r^t W_r \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r \right] + \mathbb{E}\left[\int_r^t (W_s-W_r) \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r \right] \\ =& \int_0^r W_s \mathrm{d}s + \mathbb{E}\left[(t-r)W_r \ | \ \mathcal{F}_r \right] + \mathbb{E}\left[\int_r^t (W_s-W_r) \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r \right] \\ =& \int_0^r W_s \mathrm{d}s + (t-r)W_r + \int_r^t \underbrace{\mathbb{E}[W_s - W_r | \mathcal{F}_r]}_{=0} \mathrm{d}s = \\ =& (t-r)W_r + \int_0^r W_s \mathrm{d}s .\end{align*}$$ He utilizado el hecho de que $ \mathbb{E}\left[\int_r^t (W_s-W_r) \mathrm{d}s \ | \ \mathcal{F}_r\right]=\int_r^t \mathbb{E}[W_s-W_r | \mathcal{F}_r] \mathrm{d}s$ a través del teorema de Fubini para más detalle sobre esto que usted puede desear para ver este enlace.

Por lo tanto, $$\mathbb{E}[X_t\ | \ \mathcal{F}_r] = tW_r - (t-r)W_r - \int_0^r W_s \mathrm{d}s =rW_r - \int_0^r W_s \mathrm{d}s = X_r. $$

Answer 2

Mediante la Integración por Parte de la fórmula, tenemos : $$t.W_t -\int_0^t W_s ds = \int_0^t s.dW_s+ 0$$ (the $0$-term comes from quadratic covariation between $t$ and $W_t$, que es nulo)

Por lo $X_t=\int_0^t s.dW_s$, para mostrar que esto es de hecho una martingala es sencillo de utilizar los hechos de que : $W_t$ es un cuadrado integrable martingala y $s$ es un almacén de proceso predecible.

Usted obtener la martingala de la propiedad para $X$ a partir del lema 3 aquí.

Saludos