Hay un vínculo entre el lado-ángulo-lado de la congruencia de triángulos y el postulado paralelo? Específicamente, se desprende de Euclides los cuatro primeros axiomas solo? De hecho, lo hace incluso seguir a partir de los cinco?
Respuestas
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maclema
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5959
Mi entendimiento es que el SAS hace no seguir desde los postulados de Euclides y en su lugar debe ser considerado como un axioma en sí. Ver los axiomas de Hilbert , para más detalles.
Prasham
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146
Los primeros 28 proposiciones de Euclides geometría del uso de los cuatro primeros axiomas y teoremas en tanto hiperbólico(muchos paralelismos a través de un punto paralelo a una recta dada) y la geometría euclidiana(uno paralelo a través de un punto paralelo a una recta dada). consulte la siguiente:
http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_geometry
Los primeros 15 proposiciones de Euclides mantenga en la geometría Elíptica(no paralelos) ver:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI16.html
Así que desde el lado ángulo lado es la proposición 4 se puede mantener en los tres sistemas. Pero como se ha mencionado en otra parte es uno de los axiomas de Hilbert que se han agregado como parte del proceso de formalización de la geometría de Euclides. Hilbert el libro de Los fundamentos de la geometría está disponible aquí:
thekidder
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2237
En la reflexión, el SAS me dice que la geometría Euclidiana tiene un fuerte semi-local de la homogeneidad, en la que cada barrio de cada punto es isótropa isomorfo con un barrio de cualquier otro punto --- una vez que encuentre una buena manera de decir "barrio", que es.
El postulado paralelo, por otro lado, puede ser utilizado para construir *canónica* isomorphisms de punto(ed)-barrios --- paralelas de la traducción, por supuesto; pero desde el construido isomorphisms son todas paralelas en un buen sentido, no nos da la isotropía de la estructura sin SAS. (editar/agregar:ed): en la otra dirección, SAS no da ninguna canónica isomorphisms, que es mejor así porque hiperbólica y elíptica espacio ambos tienen SAS, pero no el postulado paralelo. (edición final)
Los relacionados con el postulado de Euclides estados adecuadamente --- que todos los ángulos rectos son iguales --- sólo le da un pointwise isotropía; no ayuda mucho para los segmentos subtendido por respectivamente segmentos iguales en igualdad de ángulos.
ytg
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256
Usted no necesita el postulado de la paralela, pero el derecho a ser un poco preocupado acerca de triángulo congruencias siguientes de Euclides los axiomas de. El enlace proporcionado por Michael Lugo explica el problema: Euclides prueba utiliza la "superposición", pero sus axiomas no le permiten sacar conclusiones sobre esta base.
Robert Höglund
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5572
Lado-ángulo-lado de la congruencia es la cuarta proposición de los Elementos. Euclides no uso el quinto postulado hasta I. 29, que es el de la igualdad de los ángulos alternos internos.
