Estaba leyendo la introducción a Hamilton papel de "Tres colectores con el Positivo de la Curvatura de Ricci." Él dice que el $S^2 \times S^1$ no admite métrica de la constante de la sección transversal de la curvatura, y por lo tanto representa un obstáculo para la mejora de la hipótesis de que el principal teorema de positivo de la curvatura de Ricci para no negativo de la curvatura de Ricci. Mi pregunta es: ¿alguien Puede proporcionar una referencia para el resultado que $S^2 \times S^1$ no tiene una curvatura constante métrica o a un resultado general que implica?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Otra manera de mostrar esto es la siguiente: Si $M^n$ constante de la sección transversal de la curvatura de la $\kappa$, el universal, cubriendo de $M^n$ debe ser (i) $S^n$ si $\kappa>0$, (ii) $\mathbb{R}^n$ si $\kappa=0$, o (iii) $\mathbb{H}^n$ si $\kappa<0$. Ver Teorema 4.1 del Capítulo 8 de la Geometría de Riemann por Do Carmo.
Pero como ya se ha notado, el universal, cubriendo de $S^2\times S^1$$S^2\times \mathbb{R}$. Por lo que no puede tener una constante de la sección transversal de la curvatura.
Flimzy
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Me acabo de dar cuenta de cómo probar esto (tonto de mí), aunque todavía estoy curioso por saber si alguien tiene una solución diferente.
Se desprende de la Cartan-Hadamard Teorema que si la sección transversal de la curvatura es negativa o $0$, la cobertura universal es $\mathbb{R}^n$. Sin embargo, la universalización de la cobertura es claramente $S^2\times \mathbb{R}$, por lo que este puede no ser el caso. Por otro lado, se desprende del Capó-Myers teorema que con la constante de curvatura positiva el grupo fundamental debe ser finito, lo cual no es así en nuestro caso donde $\pi_1=\mathbb{Z}$. Esto demuestra lo que yo quería.
