Demostrar la desigualdad de $\frac{e^x+e^{-x}}{2} \leq e^{x^2/2}$ para todos los números reales $x$.

Question

¿Cómo puedo probar lo que está escrito en el título? Yo era capaz de obtener una incompleta prueba para el caso de $x>2$. Aquí está mi tratar: el Uso de $e^x = \sum_{j=1}^{\infty} \frac{x^j}{j!}$.
Ahora podemos ver que, si $x$ es un número real, entonces: $$e^{x^2/2}-e^x/2-e^{-x}/2=\sum_{j=1}^\infty \frac{\frac{x^{2j}}{2^{j-1}}-x^j-(-x)^j}{2j!}$$ and we need to show this is positive. Now, if $j$ is odd, then the numerator is just $x^{2j}/2^{j-1}$ which is always greater than zero. But if $j$ is even, multiply the numerator by $2^{j-1}$, and check if the result is positive. The result is $x^{2j} -2^{j} \cdot x^j=x^{j}(x^j-2^j)$ So if $x$ is greater then $2$, we get a positive result, but otherwise, we don't. So how do I continue for other values of $x$?

Answer 1

Su cálculo es erróneo. La expansión de la $\cosh{x}$ es $\sum_{j \geq 0}{\frac{x^{2j}}{(2j)!}}$, pero la expansión de la $e^{x^2/2}$ es $\sum_{j \geq 0}{\frac{x^{2j}}{2^j \cdot j!}}$.

Usted sólo tiene que demostrar que $j!2^j < (2j)!$ por cada $j$.

Answer 2

Deje $f(x)=\frac{x^2}{2}-\ln\frac{e^x+e^{-x}}{2}.$

Desde $f$ es una función par, es suficiente para probar que $f(x)\geq0$ para $x\geq0.$

Vemos que $$f'(x)=x-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$y $$f''(x)=1-\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}=\frac{(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}\geq0.$$ Id est, $$f'(x)\geq f'(0)=0,$$ $$f(x)\geq f(0)=0$$ y hemos terminado!

Answer 3

Ya que ambas funciones son, incluso, podemos centrarnos en donde $x$ es no negativa. La desigualdad de $e^x\geq 1+x$ es un poco débil aquí. Sin embargo, la desigualdad $$e^x\geq 1+x+\frac{x^2}{2}$$ es de ayuda aquí.

Basta para mostrar $$\cosh(x)\leq 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}\leq e^{x^2/2}$$ que es mucho más accesible con derivados. Por supuesto, este no es para todos los $x$ debido a un crecimiento exponencial. Sin embargo, es bastante fácil demostrar que se sostiene en $[0,1.5]$.

La desigualdad $$\cosh(x)\leq 1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{96}$$ se sostiene en un conjunto mucho más grande--- un poco más de $[0,10]$. Esto es tan simple como el enfoque anterior.

Answer 4

Aviso:

$$\frac12(e^x+e^{-x})<\frac12(e^x+1)$$ y para $x>2.11$ que $e^\frac{x^2}{2}>e^x+1$

Vea si usted puede demostrar que tiene de $0<x<2.11$ (Nota, la negatividad es irrelevante ya que ambas partes son incluso funciones)

Answer 5

Tomando nota de que $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, que puede proceder de la siguiente manera:

• Tenga en cuenta que $\cosh (-x) = \cosh x$ e $e^{\frac{(-x)^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}}$
• $ \Rightarrow$ Es suficiente para demostrar la desigualdad de la $x \geq 0$.
• Para $x= 0$ tiene la igualdad.
• $ \Rightarrow$ Es suficiente para demostrar que $\left(e^{\frac{x^2}{2}} - \cosh x \right)' \geq 0$ para $x>0$.
• $\left(e^{\frac{x^2}{2}}\right)' = xe^{\frac{x^2}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2^n\cdot n!}$
• $\left(\cosh x \right)' = \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $$\frac{1}{2^n\cdot n!} \geq \frac{1}{(2n+1)!}\Leftrightarrow \frac{(n+1)\cdots (2n+1)}{2^n} \geq 1 \mbox{ True!}$$

A partir de esta desigualdad de la siguiente manera.