¿Cuál es la respuesta a$\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x} dx$?

Question

Traté de resolver la integral de la $$\int \frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x}\, dx$$ las siguientes maneras:

1. Expresando cada función en forma de $\tan \left(\frac{x}{2}\right)$, $\cos \left(\frac{x}{2}\right)\,$ e $\,\sin \left(\frac{x}{2}\right)\,$ de forma independiente, pero que no van bien para mí.

2. Multiplicando y dividiendo por $\cos^2x$ o $\sin^2x$.

3. Expresan $\cos^2x$ como $1-\sin^2x$ y la división de la integral, y me quedé con $\int \left(\frac{\sin^3x}{\sin x - \cos x}\right)\, dx$ que reescribí como $\int \frac{\csc^2x}{\csc^4x (1-\cot x) } dx,\,$ y trató de toda una serie de sustituciones sólo para fallar.

4. Traté de sustituir $\frac{1}{ \sin x - \cos x}$, $\frac{\sin x}{ \sin x - \cos x}$, $\frac{\cos x \sin x}{ \sin x - \cos x}$ e $\frac{\cos^2x \sin x}{\sin x - \cos x},$ independiente, ninguno de los cuales parecía funcionar.

5. Yo expresó el denominador como $\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ e intentó multiplicando y dividiendo por $\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$, y se llevaron a cabo algunas sustituciones. Entonces, me repitió la misma con $\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)$. Ninguno de ellos funcionaba.

Answer 1

$$\int\frac{\cos^2x\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}dx=$ $ $$=\int\left(\frac{\cos^2x\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}+\frac{1}{2}\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})\right)dx-\frac{1}{2}\int\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})dx=$ $ $$=\frac{1}{2}\int\frac{\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}-\frac{1}{2}\int\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})dx=$ $ $$=\frac{1}{2}\int\left(\frac{\sin{x}}{\sin{x}-\cos{x}}-\frac{1}{2}\right)dx-\frac{1}{2}\int\left(\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})-\frac{1}{2}\right)dx=$ $ $$=\frac{1}{4}\int\frac{\sin{x}+\cos{x}}{\sin{x}-\cos{x}}dx-\frac{1}{2}\int\left(\sin{x}(\sin{x}+\cos{x})-\frac{1}{2}\right)dx=$ $ $$=\frac{1}{4}\ln|\sin{x}-\cos{x}|-\frac{1}{4}\int\left(2\sin^2{x}-1+\sin2x\right)dx.$ $ ¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 2

Deje $\displaystyle I =\frac{1}{2}\int\frac{2\cos^2 x\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{(1+\cos 2x)\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx$

Entonces $\displaystyle I =\frac{1}{4}\int \frac{2\sin x}{\sin x-\cos x}dx+\frac{1}{2}\int\frac{\cos 2x\cdot \sin x}{\sin x-\cos x}dx$

Ahora escribiendo

$2\sin x=(\sin x+\cos x)+(\sin x-\cos x)$

y $\cos (2x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$

Answer 3

Insinuación:

Deje $\dfrac\pi4-x=y$

$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin y$

$\sin x=\dfrac{\cos y-\sin y}{\sqrt2}$

$2\cos^2x=1+\cos2x=1+2\sin y\cos y$

PS

Answer 4

intente con $$\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$$ $$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$ Usted recibirá esta integral $$\int \frac{4 t \left(t^2-1\right)^2}{\left(t^2+1 \right)^3 \left(t^2+2 t-1\right)}dt$$ y esto es $$\int \left(1/2\,{\frac {-t+1}{{t}^{2}+1}}+{\frac {-4\,t+4}{ \left( {t}^{2}+1 \right) ^{3}}}+1/2\,{\frac {t+1}{{t}^{2}+2\,t-1}}+{\frac {2\,t-4}{ \left( {t}^{2}+1 \right) ^{2}}}\right) dt$$

Answer 5

Una sustitución estándar para integrales de funciones racionales de funciones trigonométricas es $t=\tan \frac{x}{2}$ .