Confundida pregunta de los multiplicadores de Lagrange.

Question

Deje $a_1,a_2, \dots, a_n$ ser reales, definimos una función de $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ por $f(x) = \sum_{i=1}^{n}a_ix_i-\sum_{i=1}^{n}x_i\ln(x_i)$, además, se nos da también ese $0 \cdot \ln(0)$ se define a ser $0$.

Encontrar el supremum de $f$ sobre el dominio $\Omega = \{x \in \mathbb R^n: x_i \geq 0, \sum_{i=1}^{n}x_i = 1\}$.

Lo que yo hice:

$\Omega$ es cerrado y acotado y por lo tanto compacto, y $f$ es continua. De ello se desprende que $f$ admite un mínimo y un máximo (que me confunde por qué le pidió supremum y no máximo).

Vamos a buscar el máximo cuando $x_i > 0$, al resolver el sistema de $\begin{cases}a_i-\ln(x_i)-1 = \lambda \\ \sum_{i=1}^{n}x_i = 1 \end{cases}$.

Desde el primer $n$ ecuaciones obtenemos $\ln(x_i) = a_i-1-\lambda$ o en otras palabras $x_i = e^{a_i -1 -\lambda} > 0$

Conectando a la restricción para encontrar $\lambda$, obtenemos $\lambda = \ln(\sum_{i=1}^{n}e^{a_i}) - 1$, lo $x_i = e^{a_i-\ln(\sum_{i=1}^{n}e^{a_i})}$ es un potencial máximo, o mínimo, recuerden $f$ también alcanza un mínimo.

Ahora tenemos que comprobar lo que sucede cuando $x_i$ es cero. Esto nos da un idéntico problema, pero en una dimensión más pequeña. Después de que necesitamos comprobar si $(x_i,x_j)$ son cero en todos los pares. Luego a través de todos los triples y así sucesivamente.

Seguramente esta no es la intención. ¿Qué está pasando aquí?

Answer 1

Esto es bastante correcta.

Obtenida la solución para el punto fijo $$\hat x_i = \dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}$$ corresponde a las restricciones.

El valor es $$f\left(\hat x\right) = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{a_ie^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}} - \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}\log\dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}} = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}} \left(a_i - \log\dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}\right)\\ = \sum\limits_{i=1}^n \dfrac{e^{a_i}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}} \left(\log e^{a_i} - \log e^{a_i}+\log{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}\right) = \sum\limits_{i=1}^n\dfrac{e^{a_i}\log{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}}{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}} = \log{\sum\limits_{j=1}^ne^{a_j}}.$$ La tarea en cada frontera es similar, con algún subconjunto de $\{a_i\}$ lugar el problema establezca $\{a_i\}.$ Así que los puntos estacionarios de los valores en los bordes que contienen una parte de la cuestión de la suma de los términos. En este momento, último nivel de sumas de dinero, de cada una de las cuales contiene el único valor $a_i,$ presente $1D$ tareas con ceros en los bordes y se corresponden con la maxima.

Desde $\forall(i)e^{a_i}>0,$ el valor de $f\left(\hat x\right)$ es máxima.

Answer 2

El problema es un problema de optimización convexa (la maximización de una función convexa de más de un dominio convexo). Las condiciones KKT son por lo tanto necesarias y suficientes de optimalidad global.

Las condiciones KKT son: (1) la estacionariedad, (2) viabilidad primal, y (3) holgura complementaria. El Lagrangiano (incluyendo nonnegativity) es: $$L(x,\lambda,\mu) = \left(\sum_{i=1}^n a_ix_i - x_i \ln(x_i) + \mu_i x_i + \lambda x_i \right) - \lambda$$ Las condiciones KKT son:

1. $a_i - \ln(x_i)-1+\mu_i+\lambda=0$
2. $\sum_{i=1}^n x_i = 1$ e $x \geq 0$
3. $\mu_i x_i = 0$

La solución que encontró satisface todas las condiciones con $\mu_i=0$ y por lo tanto es óptimo.