Proyección del collar de Antoine

Question

El collar de Antoine es una incrustación patológica del conjunto de Cantor en $\Bbb R^3$ . La segunda iteración tiene este aspecto:

Curiosamente, el complemento $\Bbb R^3\setminus\rm A$ no está simplemente conectado. Esta propiedad es preservada por las isotopías ambientales. (¡Gracias, @MikeMiller!) Cualquier cosa con una isotopía de ambiente a lo que se define en el artículo, entonces, debe ser considerado como un collar de Antoine.

¿Qué ocurre cuando proyectas el collar en un avión? Es decir, si $\pi:\Bbb R^3\to\Bbb R^2$ es una proyección, lo que es $\pi({\rm A})$ ? Estoy seguro de que no se obtiene otro conjunto de Cantor. De hecho, parece que siempre estaría conectado. Mi suposición es que debe ser homeomorfo a la alfombra de Sierpinski. ¿Lo es?

Answer 1

La respuesta es no - es muy posible que un collar de Antoine esté configurado de tal manera que alguna proyección del mismo sea no homeomorfo a la alfombra de Sierpinski. En particular, es posible que alguna de esas proyecciones tenga un punto de corte. Esto es imposible si es homeomorfa a la alfombra de Sierpinski, que no tiene puntos de corte.

Para ver esto, echemos un vistazo a un collar específico de Antoine:

Y aquí está desde el lado en proyección ortográfica:

Obsérvese que en el centro siempre hay un toroide en su lado. Como resultado, la altura de ese toro disminuye hasta cero y la proyección en esa dirección intersectará una línea vertical en un único punto. Ese punto es un punto de corte.