Prueba alternativa de que$U(n^2-1)$ no es cíclico para$n>2$.

Question

Estoy leyendo "Contemporáneo Álgebra Abstracta," por Gallian.

Este es el Ejercicio 4.84 ibid. y quiero resolverlo utilizando sólo las herramientas disponibles en el libro de texto hasta ahora. (Una copia gratuita del libro está disponible en línea).

Notación: El grupo $$(\{a\in\Bbb Z_m\mid \gcd (a, m)=1\}, \times_m)$$ of units modulo $m$ under multiplication $\times_m$ (or concatenation) modulo $m$ is denoted $U(m)$.

La Pregunta:

Para cada entero $n$ mayor que $2$, probar que el grupo $U(n^2-1)$ no es cíclico.

Pensamientos:

Soy consciente de que $n^2-1=(n-1)(n+1)$ como diferencia de dos cuadrados.

Que $U(n^2-1)$ es cíclico para $n=2$ libre directo de la computación.

Métodos externos (por ejemplo, las ideas de las pruebas que se basan en, digamos, anacrónico técnicas):

• El resultado que $U(m)$ es cíclico iff $m$ es $2, 4, p^k, 2p^k$ primer $p>2$ aún no se ha establecido en el texto (creo).

• (Lo que sospecho es que) el lema de que si un grupo de $G$ contiene al menos cuatro elementos distintos $x\in G$ tal que $x^2=e$, a continuación, $G$ no es cíclica, no está claro para mí; no está establecido en el libro de texto y, sí, puedo ver por qué es verdad (como el de Klein cuatro grupo es, intuitivamente, un (no cíclica) subgrupo de $G$). Por favor, siéntase libre de probar este lema. Sería suficiente para mí, para comprender el problema en cuestión.

• El Teorema del Resto Chino no está establecido todavía (pero está en la página 347; estoy hasta la página 92).

• El teorema de que $U(m)$ es cíclico iff $\varphi(m)=\lambda(m)$ no se ha establecido todavía. (Aquí se $\varphi$ es de Euler totient función y $\lambda$ es el Charmichael función.) De hecho, creo que no es mencionado en absoluto (pero yo no he mirado muy duro).

Ayuda por favor :)

Answer 1

Utilizando el Teorema 4.4, se ve que el si $2$ divide $\phi(n^2-1)$ (que es el orden de $U(n^2-1)$, un número par) y este grupo es cíclico, a continuación, debe haber exactamente $\phi(2) = 1$ elementos de orden 2.

El orden de $n^2-2$ es $2$ (es congruente a -1 modulo $n^2-1$) y el orden de $n$ es claramente $2$ así. Esto contradice el Teorema 4.4 si asumimos que el grupo es cíclico.

Answer 2

Su segundo enfoque es el de la derecha: si $a=\pm 1, \pm n$, a continuación, $a^2 \equiv 1 \bmod n^2-1$.

El argumento se basa en este hecho:

Si $G$ es un grupo cíclico de orden $m$ e $d$ divide $m$, entonces no es exactamente un subgrupo de $G$ orden $d$; es el conjunto de soluciones de $x^d=1$.

Para una prueba, consulte aquí.