Respecto a si dos funciones son pares o impares

Question

Yo soy la solución de la integral

$$\int_\frac{-π}{2}^\frac{π}{2} x \cos x+ \tan x^5 \,dx$$

En la solución, tanto de $x \cos x$ e $\tan x^5$ son funciones impares.

Son estas funciones pares o impares?

Me di cuenta de:

$$\left(\frac{-π}{2} \right)\cos \left(\frac{-π}{2} \right)=-0$$ and $$\left(\tan \left(\frac{-π}{2} \right) \right)^5 =-∞$$

Si estas son funciones impares, a continuación, $0=-0$ e $∞=-∞$, el último de los cuales me hace tener dudas.

Answer 1

Tenga en cuenta que par/impar-dad de una función debe aplicar para todos los $x$ en el dominio donde la función está definida. Los valores específicos que no necesariamente significa nada en el gran contexto para demostrar que una función es par o impar, debe de ser arbitrario $x$.

---

Deje $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Considere la posibilidad de $f(-x)$. Recordando el coseno es una función par,

$$\begin{align} f(-x) &=-x \cdot \cos(-x) \\ &= -x \cdot \cos(x) \\ &= -f(x) \\ \end{align}$$

Por lo tanto, $f$ es impar, como $f(-x) = -f(x)$.

---

Deje $g(x) = \tan^5 (x)$. Recordar tangente es impar, y por lo tanto

$$\begin{align} g(-x) &= \tan^5 (-x)\\ &= (-1)^5 \tan^5 (x) \\ &= - \tan^5 (x) \\ &= - g(x) \end{align}$$

(Si en lugar de lo que significaba $\tan(x^5)$, el argumento es bastante similar).

Por lo tanto, $g$ es también impar.

---

También podría ser vale la pena destacar:

Usted no puede decir que una función es "igual a" infinito. Si $f(x) = 1/x$, $f(0)$ no es igual a $\infty$. En algunos contextos, enfoques infinito (como la mano derecha de límite como $x -> 0$), pero $1/0 \neq \infty$.

Esto puede ser importante tener en cuenta cuando se habla de pares/impares-dad de tales funciones, la premisa es que la función está definida en el primer lugar. $\tan(x)$ no está definida para $x = k\pi$ para los números enteros $k$. No es igual a infinito, o a infinito negativo como podría ser el caso desde un punto de vista diferente - simplemente indefinido.

Answer 2

Para verificar, tenemos $$f(x)= x\cos(x)= x\cos(-x)= -(-x\cos(-x))= -f(-x)$$ So $ f (x) = x \ cos (x)$ is an odd function. Next, $$g(x)=(\tan(x))^{5}= \bigg(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\bigg)^{5} = \bigg(\frac{-\sin(-x)}{\cos(-x)}\bigg)^{5}=(-1)^{5}\bigg(\frac{sin(-x)}{\cos(-x)}\bigg)^{5}= -\bigg(\frac{sin(-x)}{\cos(-x)}\bigg)^{5}= -g(-x).$ $ Así que tenemos las dos funciones impares.