Calcula

Question

Calcular $$ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt{3n^2+n-1}}{n+\sqrt{n^2-1}}$ $

Hice lo siguiente:

PS

Sin embargo, la respuesta correcta es diferente. ¿Por qué me equivoco?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Al dividir el numerador y el denominador por $n$ , debe tener $$\frac{\sqrt{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}}{\frac{n}{n}+\sqrt{\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}}}=\frac{\sqrt{3+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}}{1+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}.$ $ En lugar de su denominador, tenemos $\frac{n}{n^2}+\sqrt{\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}}$ .

Entonces, ¿cuál es el límite final?

Answer 2

Al descartar los términos de orden inferior (que se vuelven insignificantes cuando crece $n$ ), la expresión tiene el mismo límite que

PS

Answer 3

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3n^2 + n-1}}{n+\sqrt{n^2-1}} $$

Factor $n$, así: $$ \frac{\sqrt{3n^2 + n-1}}{n+\sqrt{n^2-1}} = \frac{n\sqrt{3 + {1\over n} - {1\over n^2}}}{n\left(1 + \sqrt{1- {1\over n^2}}\right)} = \frac{\sqrt{3 + {1\over n} - {1\over n^2}}}{1 + \sqrt{1- {1\over n^2}}} $$

De modo que su límite se convierte en: $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{3 + {1\over n} - {1\over n^2}}}{1 + \sqrt{1- {1\over n^2}}} $$

Ahora lo que sucede a ${1\over n^k}$ cuando $n\to\infty, k\in\Bbb N$?

Answer 4

Un poco de la heurística y la informal argumento: (nota: una guía para formalizar de la siguiente manera)

Como $n \to \infty$, el término de mayor grado que domina el crecimiento de un polinomio. En otras palabras, en un cúbicos $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, $x$ crece más y más grande, $f(x) \approx ax^3$. Esta idea se generaliza para todos los polinomios y como expresiones (expresiones de "racional" de grado, como $x^{1/2}$ o $x^\pi$ o lo que sea, y de las sumas de los mismos, por ejemplo).

Con esa idea en mente, vamos a examinar:

$$\sqrt{3n^2+n-1} \approx \sqrt{3n^2} = n \sqrt 3$$

Del mismo modo,

$$\sqrt{n^2 - 1} \approx \sqrt{n^2} = n$$

Por lo tanto,

$$ \lim\limits_{n \to \infty}\frac{\sqrt{3n^2+n-1}}{n+\sqrt{n^2-1}} = \lim\limits_{n \to \infty}\frac{n \sqrt 3}{n+n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n \sqrt 3}{2n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt 3}{2}=\frac{\sqrt 3}{2}$$

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Una más formal, alternativa argumento puede obtenerse dividiendo por el numerador y el denominador por $n$, como se ha mencionado en otras respuestas, pero siento que mi enfoque es más intuitivo.

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Usted también puede hacer que el argumento original más rigurosa mediante la consideración de lo que significa ser "asintóticamente equivalente," como se indica en los comentarios de Bernard. Básicamente, dos funciones $f,g$ son asintóticamente equivalentes si

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$

También sabemos, siempre que los límites existen, podemos "distribuir" el límite en la fracción así como:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{x \to \infty} f(x)}{\lim\limits_{x \to \infty} g(x)}$$

lo que significa que con el anterior que dos funciones son asintóticamente equivalentes si

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} g(x)$$

En esa luz, en esencia, esto nos da un medio para hacer sustituciones en el límite dado. Desde

$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{3n^2+n-1} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{3n^2}$$

podemos hacer que el recambio en nuestro límite, por ejemplo. Por supuesto, que la ortografía de todos los detalles es algo que voy a dejar a usted. ;)