¿Cómo puedo graficar la derivada de 1/4 de un círculo o de un semicírculo en una función por partes? (También otros tipos de funciones por partes)

Question

Estoy teniendo problemas con preguntas como estas. En la primera imagen, la función original es la que tiene las dos líneas rectas y una semicircunferencia en medio. Entiendo cómo encontrar y graficar la derivada de las partes que son líneas rectas, sin embargo no entiendo cómo encontrar la derivada de la semicircunferencia. Puedo ver que el radio es 2 así que

$x^2+y^2 = 2^2 = 4$

¿Debo diferenciar implícitamente con respecto a $x$ para obtener $y'$ y la gráfica de eso?

Si hago eso obtengo $2x+2yy' = 0 \implies y' = \frac{-x}{y}$

¿Y ahora qué? Además, esto es una semicircunferencia así que ¿debo diferenciar $\frac{x^2+y^2}{2} = 2$?

De manera similar, en la segunda pregunta tengo 1/4 de un círculo, ¿cómo puedo derivar eso y graficarlo? Finalmente, en la segunda pregunta, entiendo que la derivada de una parábola sería una función lineal porque (por ejemplo) la derivada de $x^2$ es $2x$ pero ¿cómo puedo graficar esto con solo la información de que es una parábola y no se me da la función en sí? Sé que si la función está disminuyendo entonces la derivada debe ser negativa. Entiendo intuitivamente por qué debe ser lineal pero ¿hay alguna "regla" de graficación que me haga saber esto?

EDICIÓN: ¿es tan simple como (para la primera pregunta) que la función está disminuyendo por lo que la derivada estará debajo del eje x y para la segunda pregunta que el punto de inflexión está en $x=2$ por lo que está disminuyendo de 0 a 2 por lo que la función será negativa y aumentando de 2 a 4 por lo que será positiva allí? Pero ¿cómo obtiene esa forma que hace que se parezca a una gráfica de $x^3$? podría parecer una línea, o una parábola o cualquier cosa, ¿por qué tiene esa forma específica?

Answer 1

Creo que no se espera que proporciones gráficos exactos, pero hay más información disponible en los gráficos de la que estás utilizando.

En tu problema con el semicírculo y las dos líneas rectas, nota en primer lugar que se trata de un semicírculo, no de un círculo completo. Además, ten en cuenta que el centro es $(2,0)$, no $(0,0)$. La ecuación del círculo completo es $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, y podemos resolver esto para $y$: $$y = -\sqrt{4 - (x - 2)^2} = -\sqrt{4x - x^2}$$ donde he elegido la raíz cuadrada negativa porque tu gráfico corresponde a la mitad inferior del círculo, donde $y < 0$. La derivada está dada por $$y' = \dfrac{x - 2}{\sqrt{4x-x^2}}$$

Algunas cosas a observar al respecto: En $x = 2, y' = 0$. Cerca de $x = 0$, el numerador está cerca de $-2$ mientras que el denominador tiende a $0$ desde arriba, por lo que $y' \to -\infty$. De manera similar en $x = 4$, el numerador está cerca de $4$ a medida que el denominador tiende a $0$ desde arriba, por lo que $y' \to +\infty$.

En realidad, no necesitas encontrar la fórmula de la derivada para identificar esos tres hechos: En $x = 2$ está el mínimo de la curva, y en los mínimos la derivada siempre es $0$. También es obvio a partir del gráfico que la línea tangente allí debe ser horizontal. En $x = 0$ y $x = 4$, las tangentes al círculo son verticales, por lo que $y' = \pm\infty$. Cerca de $0$, las tangentes disminuyen a medida que avanzas hacia la derecha, por lo que su pendiente es negativa. Por lo tanto, $y' \to -\infty$ en $x = 0$ y de manera similar se puede ver que $y' \to +\infty$ en $x = 4$.

Otra cosa que podemos ver es que la pendiente está aumentando. Al observar el círculo, a medida que nos movemos hacia la derecha, las tangentes se vuelven menos y menos negativas en su pendiente hasta que llegamos a $x = 2$ donde es $0$. Después de eso, se vuelven más y más positivas hasta que son verticales nuevamente en $x = 4$. Por lo tanto, el gráfico de $y'$ tiene que estar aumentando.

Estos hechos por sí solos requieren un gráfico con la forma que se muestra. Excepto que tiene asíntotas en $x = 0$ y $x = 4$. Es estrictamente vertical allí. $y = (x - 2)$ e incluso $y = (x-2)^3$ no funcionan, ya que ninguno tiene asíntotas. Debido a que el gráfico de la derivada cruza el eje $x$ suavemente en $x = 2$, lo hará a cierta pendiente. Pero a la izquierda, se curva hacia abajo hacia vertical a medida que se acerca a $x = 0$, y a la derecha, se curva hacia arriba hacia vertical a medida que se acerca a $x = 4$.

Lo único realmente útil que falta aquí es saber qué pendiente tiene al cruzar el eje $x$. Para eso necesitas calcular la segunda derivada y evaluarla en $x = 2$. No tengo atajos para eso, pero el resultado es $\frac 12$. Esto significa que el gráfico en tu imagen es algo inexacto, ya que su pendiente parece ser cerca de $1$, pero esta es una corrección menor.

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Para el otro gráfico, el cuarto de círculo es muy similar, pero solo estás observando un lado. Mira su gráfico (que no parece ser circular porque las escalas horizontal y vertical no son iguales). Nuevamente, en $x = -6$, la tangente al círculo será horizontal. A medida que te mueves hacia la derecha, las tangentes comienzan a inclinarse hacia abajo más y más hasta que en $x = -2$, la tangente se vuelve vertical. Por lo tanto, la derivada será $0$ en $x = -6$, se volverá más y más negativa a medida que avanzas hacia la derecha hasta que tiene una asíntota ($y' \to -\infty$) en $x = -2$. Debido a que tiene una pendiente finita (en realidad, nuevamente $-1/2$) al cruzar el eje $x$ en $x = -6$, pero tiene una asíntota en $x = -2$, tiene que curvar hacia abajo como muestra la respuesta.

En el lado de la parábola, sí tiene que ser lineal, pero puedes deducir de qué línea se trata a partir de lo que sabes sobre las parábolas. Sabes que el vértice está en (4,6) y se abre hacia abajo, por lo que tiene una ecuación de la forma $$y = 6 - a(x - 4)^2$$. También vemos que pasa por $(9,0)$, por lo que $0 = 6 - a(9-4)^2$, lo que da $a = \frac6{25}$, y por lo tanto $$y' = -\frac {12}{25}(x - 4)$$

Es decir, la derivada va a tener una pendiente que está cerca de $-\frac 12$, y será $0$ en $x = 4$ (lo cual ya sabías, ya que el vértice está allí). Por lo tanto, su gráfico será $0$ en $x=4$ y se extenderá hacia la derecha con una pendiente cercana a $-\frac 12$.

Observa que una vez más, la respuesta no fue completamente precisa en la pendiente. No se esperaba que produjeras la pendiente exacta. Simplemente graficar una pendiente moderadamente negativa desde $(4,0)$ hacia la derecha habría sido suficiente.