Iteración por punto fijo.

Question

Supongamos $x_{k+1}= g(x_k)$ es de la iteración de punto fijo para algunas continuamente diffrentiable $g(x)$. El teorema de im aprendizaje dice que si $g(r) = r$ e $|g'(r)| < 1$ entonces la iteración de punto fijo converge a $r$ para el valor inicial $x_0$ lo suficientemente cerca de a $r$.

MI pregunta es: Es lo contrario también es verdadero? Es decir, si la iteración de punto fijo converge a $r$, entonces tenemos que tener en $|g'(r)|<1$?

O es posible tener situaciones donde $g'(r) \geq 1$ con $(x_k)$ convergente a $r$.

Answer 1

La iteración $x_{n+1}=\sin(x_n)$ converge hacia a$r=0$ a pesar de la derivada no ser $\cos(0)=1$.

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Detalles sobre la convergencia

Para $y_k=x_k^2$ se tiene la estimación de la regla de Leibniz en la alternancia de la serie $$ y_{k+1}=\frac12(1-\cos(2x_k)) \le y_k-\frac13y_k^2+\frac2{45}y_k^3 %=y_k\frac{1-\frac{1}{15}y_k^2-\frac2{135}y_k^3}{1+\frac13y_k} \le\frac{y_k}{1+\frac13y_k}\\~\\ \implica y_{k+1}^{-1}\ge\frac13+y_k^{-1}\implica y_k\le\frac{y_0}{1+\frac{k}3y_0} $$ lo que uno encuentra a la convergencia por los no-geométrica majorant $$ |x_k|\le\frac{|x_0|}{\sqrt{1+\frac{k}3x_0^2}}. $$

Answer 2

Deje $g(x)=x$ . Entonces la secuencia $(x_k)$ es constante, por lo tanto, convergente. Tenemos $g'(x)=1$ para todos $x$ .

Answer 3

Suponga que tiene la función de $f(x)=kx(x-a)+a$ , de modo que $f(a)=a$

A continuación, $f'(x)=2kx-k = k(2x-1)$ e si $a\neq \frac 12$ es posible elegir un valor de $k$ hacer $f'(a)$ cualquier valor que usted elija.

La diferencia es que si $|f'(a)| \gt 1$ no hay ningún intervalo abierto que contiene a$a$ en el que la iteración converge - esto sólo ocurre en el punto.

El comportamiento en general donde $|f'(a)| = 1$ depende de la función.