Forma atípica de encontrar el ángulo entre los vectores unitarios:$\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\left\|\hat{A}-\hat{B}\right\|\right)$

Question

En mi trabajo, me han llegado a través de código con la siguiente forma de calcular el ángulo entre dos vectores.

$$\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\left\|\hat{A}-\hat{B} \right\|\right)$$

(Nota de la física de la convención: $\hat{v}$ indica la normalización de $v$; es decir, $\hat{v}:=v/\|v\|$).

He pasado algún tiempo, pero no puedo pensar en cómo esto se deriva el uso típico de las metodologías (ley de senos, ley de cosenos, producto escalar, producto vectorial). Es bastante diferente. Así que mi pregunta es,

Cómo podría haber sido derivados?

Answer 1

Esto funciona cuando $A$ y $B$ son vectores unitarios.

Tiene $$ \ | AB \ | ^ 2 = (AB) \ cdot (AB) = \ | A \ | ^ 2 + \ | B \ | ^ 2-2 \, A \ cdot B = 2-2 \ cos \ theta = 4 \ sin ^ 2 \ tfrac \ theta2. $$ Resolviendo, $$ \ theta = 2 \ arcsin \ tfrac {\ | AB \ |} 2. $$