Mi pregunta es: ¿cómo se transforma la medida funcional integral de ruta en las siguientes redefiniciones de campo (donde $c$ es una constante arbitraria y $\phi$ es un campo escalar): \begin{align} \phi(x)&=\theta(x)+c \,\theta^3(x) \tag{1}\\ \phi(x)&=c\,\theta^3(x) \tag{2}\\ \phi(x)&=\sinh\big(\theta(x)\big)\tag{3} \end {align} My naive Supongo que la transformación en la ecuación (3) es \begin{align} \mathcal{D}\phi&=\mathcal{D}\theta\,\,\text{Det}\Bigg[\frac{\delta \phi(x)}{\delta\theta(x')}\Bigg]=\mathcal{D}\theta \,\,\text{Det}\bigg[\cosh(\theta(x))\delta(x-x')\bigg]\\ &=\mathcal{D}\theta\exp\bigg[\text{Tr}\,\Big(\log\big(\cosh(\theta(x))\delta(x-x')\big)\Big)\bigg]\\ &=\mathcal{D}\theta\exp\bigg[\int dx\,\,\log\Big(\cosh(\theta(x))\delta(x-x')\Big)\bigg] \end {align} Pero eso parece muy incorrecto.
Respuestas
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Parece natural generalizar OP en la configuración de varios campos de $\phi^{\alpha}$ en $d$ dimensiones de espacio-tiempo. En virtud de ultra-local campo de redefiniciones$^1$ $$ \phi^{\prime\alpha}(x)~=~F^{\alpha}(\phi(x),x) ~=~\phi^{\alpha}(x)-f^{\alpha}(\phi(x),x), $$ el Jacobiano funcional determinante en la ruta/funcional integral es formalmente como $$J~=~{\rm Det} (\mathbb{M})~=~\exp {\rm Tr}\ln (\mathbb{M}) ~=~ \exp\left(-\sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j}{\rm Tr} (\mathbb{m}^j)\right) $$ $$~=~ \exp\left(\delta^d(0) \int\! d^dx ~{\rm tr} (\ln M(x))\right), $$ donde hemos definido $$ \mathbb{M}~\equiv~\mathbb{1}-\mathbb{m},$$ $$ \mathbb{M}^{\beta}{}_{\alpha}(x^{\prime},x) ~:=~\frac{\delta F^{\beta}(x^{\prime})}{\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~ M^{\beta}{}_{\alpha}(x^{\prime})\delta^d(x^{\prime}\!-\!x),\qquad M^{\beta}{}_{\alpha}(x)~:=~ \frac{\partial F^{\beta}(x)}{\parcial\phi^{\alpha}(x)}~=~\delta^{\beta}_{\alpha}-m^{\beta}{}_{\alpha}(x),$$ $$ \mathbb{m}^{\beta}{}_{\alpha}(x^{\prime},x) ~:=~\frac{\delta f^{\beta}(x^{\prime})}{\delta\phi^{\alpha}(x)} ~=~ m^{\beta}{}_{\alpha}(x^{\prime})\delta^d(x^{\prime}\!-\!x),\qquad m^{\beta}{}_{\alpha}(x)~:=~ \frac{\partial f^{\beta}(x)}{\parcial\phi^{\alpha}(x)}.$$
Si discretizar el espacio-tiempo, entonces el Jacobiano se convierte en un producto de ordinario determinantes $$ J~=~\prod_i \det (M(x_i)), $$ donde el índice de $i$ etiquetas celosía puntos de $x_i$ de espacio-tiempo. La delta de Dirac en cero $\delta^d(0)$ es aquí sustituida por el recíproco del volumen de la celda unidad del espacio-tiempo de celosía, que puede verse como un UV regulador, cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.
En dimensiones de regularización (DR), la delta de Dirac en cero $\delta^d(0)$ (que puede ser visto como un UV regulador) se desvanece, cf. Refs. 1 - 3. De forma heurística, el DR. sólo recoge los residuos de diversas finito de parámetros de un sistema físico, mientras que las contribuciones de infinito parámetros se regularizan a cero. Como consecuencia, en el DR. el Jacobiano $J=1$ se convierte en uno de los locales de campo redefinición (si no hay anomalías presentes).
Referencias:
M. Henneaux & C. Teitelboim, la Cuantización de Sistemas de trocha, 1994; Inciso 18.2.4.
G. Leibbrandt, Introducción a la técnica de dimensiones de regularización, Modif. Mod. Phys. 47 (1975) 849; la Subsección IV.B.3 p. 864.
A.V. Manohar, Introducción a la eficacia en Campo de las Teorías, arXiv:1804.05863; p. 33-34 & p. 51.
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$^1$ Mucho de esto se puede generalizar para local de campo de redefiniciones $$ \begin{align}\phi^{\prime\alpha}(x)&~=~F^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x), \ldots ,\partial^N\phi(x) ,x)\cr &~=~\phi^{\alpha}(x)-f^{\alpha}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial^2\phi(x), \ldots ,\partial^N\phi(x) ,x),\end{align}$$ y derivados $\partial^j\delta^d(0)$ de la delta de Dirac en cero. En el campo Local redefiniciones corresponden a la inserción de IR irrelevantes vértices en la acción.
Todos los tres casos, (1)-(3), son locales redefiniciones, lo que significa que el valor de $\phi(x)$ cualquier $x$ sólo está determinado por el valor de $\theta(x)$ en ese mismo valor de $x$ (y a la inversa, asumiendo que es invertible).
Conceptualmente, el parámetro de $x$ es sólo un continuo índice de etiquetado diferentes de integración de las variables. De hecho, el más general-aplicable manera que tenemos para la definición de una integral funcional (al menos en QFT) es reemplazar este parámetro continuo con una discreta índice. Entonces usted tiene una ordinaria multi-variable integral, y la regla para cambiar de integración de las variables es la usual. Para los casos (1)-(3) describir los cambios de la variable en un grupo de una solavariable-integrales.
Pensar acerca de las cosas de esta manera (con $x$ discretizado) debe ayudar a rastrear a lo que realmente está pasando con el $\delta(x-x')$ factor.
Considerar el caso más general de una (no necesariamente local) campo redefintion de la forma: \begin{equation} \phi(x)=\int d y \,\,f(x,y)\,g\big(\theta(y)\big)\tag{1} \end{equation} Por ejemplo, en la pregunta anterior, tenemos \begin{equation} \phi(x)=\int d y \,\,\delta(x-y)\,\sinh\big(\theta(y)\big) \end{equation} que es un ejemplo de un campo local redefinición. En el caso discreto donde podemos pensar de la ruta integral como teniendo lugar en una celosía, Eq.(1) toma la forma, donde a$\phi_i$ es la abreviatura para la variable discreta $\phi(x_i)$: \begin{equation} \phi_i=\sum_j F_{ij}\, g(\theta_j) \tag{2} \end{equation} donde $F_{ij}=F(x_i,x_j)$ puede considerarse como una matriz y $F_{ij}=\delta_{ij}$ corresponde al caso de un local de transformación. La discretización de la ruta integral podemos escribir el cambio de variables en la ecuación.(2) como (aquí $\wedge$ denota la cuña del producto, que siempre está presente para el tensor de densidad de $d^dx$ pero puedo hacer explícito aquí sólo para hacer que la presencia de la Jacobiana aparente) \begin{align} \int \mathcal{D}\phi&=\int d\phi_1\wedge d\phi_2\wedge...\wedge d\phi_n\\ &= \int \frac{1}{n!}\epsilon_{i_1...i_n}d\phi^{i_1}\wedge...\wedge d\phi^{i_n}\\ &=\int \frac{1}{n!}\epsilon_{i_1...i_n}\,\,\frac{\partial\phi^{i_1}}{\partial\theta^{i_1'}}...\frac{\partial\phi^{i_1}}{\partial\theta^{i_n'}}d\theta^{i_1'}\wedge...\wedge \,d\theta^{i_n'}\\ &=\int \frac{1}{n!}\epsilon_{i_1...i_n}\,\,\bigg(F^{i_1i_1'}\frac{d g(\xi)}{d\xi}\bigg\vert_{\xi=\theta_{i_1'}}\bigg)...\bigg(F^{i_ni_n'}\frac{d g(\xi)}{d\xi}\bigg\vert_{\xi=\theta_{i_n'}}\bigg)d\theta^{i_1'}\wedge...\wedge \,d\theta^{i_n'}\\ &=\int\frac{1}{n!}\epsilon_{i_1'...i_n'}\text{Det}\bigg[F^{ii'}\frac{d g(\xi)}{d\xi}\bigg\vert_{\xi=\theta_{i'}}\bigg]d\theta^{i_1'}\wedge...\wedge \,d\theta^{i_n'}\\ &=\int\text{Det}\bigg[F^{ii'}\frac{d g(\xi)}{d\xi}\bigg\vert_{\xi=\theta_{i'}}\bigg]d\theta^{i_1'}\wedge...\wedge \,d\theta^{i_n'}\\ &=\int d\theta^{i_1'}\wedge...\wedge \,d\theta^{i_n'}\,\,\exp\bigg\lbrace\text{Tr}\bigg(\log\bigg[F^{ii'}\frac{d g(\xi)}{d\xi}\bigg\vert_{\xi=\theta_{i'}}\bigg]\bigg)\bigg\rbrace\tag{3} \end{align} Así por ejemplo, si tenemos un campo local redefintion $F_{ij}=\delta_{ij}$ , a continuación, nos encontramos con el término $Tr(\log(\delta_{ij}))=\log(n)$, donde $n$ es el número de celosía sitios. En el caso continuo, donde $F_{ij}\rightarrow f(x,y)=\delta^{d}(x-y)$ nos encontramos con la muy singular plazo \begin{equation} Tr(\log(\delta^d(x-y)))=\int d^dx\,\,\log\bigg(\delta^{d}(x-x)\bigg)=\int d^dx\,\,\log\bigg(\delta^{d}(0)\bigg) \end{equation} Así que para responder a la pregunta original, creo que la medida se transforma a medida: \begin{align} \mathcal{D}\phi=\mathcal{D}\theta\,\,\exp\bigg(\int dx\,\log\big(\delta(0)\big)+\log\big(1+3c\theta^2)\big)\bigg)\tag{1}\\ \mathcal{D}\phi=\mathcal{D}\theta\,\,\exp\bigg(\int dx\,\log\big(\delta(0)\big)+\log\big(3c\theta^2\big)\bigg)\tag{2}\\ \mathcal{D}\phi=\mathcal{D}\theta\,\,\exp\bigg(\int dx\,\log\big(\delta(0)\big)+\log\big(\cosh(\theta(x))\big)\bigg)\tag{3} \end{align} Al parecer, uno puede ignorar la $\delta^d(0)$ cuando se trabaja en la regularización dimensional como podemos interpretar $\delta^d(0)$ mientras que el volumen de espacio-tiempo, que en $d-\epsilon$ dimensiones es \begin{equation} \delta^{d}(0)=\frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\frac{\Gamma(-d)}{\Gamma(1-d)} \end{equation} que es $\frac{1}{\epsilon}$ dependiente y por lo tanto podemos usar $\frac{1}{\epsilon}$ dependiente de la counterterms para deshacerse de este término. Sin embargo $\exp(\log(g'))$ términos aún permanecen y es claro para mí cómo mostrar que las funciones de correlación será afectado por este término.
