Si $ \{\emptyset\} ∈ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} $ es verdadero, ¿significa esto $ \emptyset \in \{\{\emptyset\}\} $ verdadero? Si no lo es, ¿por qué es falso?
Además, ¿ $ \{\{\emptyset\}\}$ significa $\{\emptyset,\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ ?
Respuestas
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David K
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La notación $a \in A$ dice que entre los elementos de $A$ hay un elemento que es exactamente igual a $a.$
La notación $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$ describe un conjunto con exactamente dos elementos.
El primer elemento es $\emptyset.$ El segundo elemento es $\{\emptyset\}.$ Es uno de esos dos elementos exactamente igual a $\{\emptyset\}$?
La notación $\{ \{\emptyset\}\}$ describe un conjunto con un solo elemento. Ese elemento es $\{\emptyset\}.$
Qué elemento de $\{ \{\emptyset\}\}$ ¿crees que es exactamente igual a $\emptyset$? Sugerencia: sólo hay un elemento que tiene que comprobar.
La notación $\{\emptyset, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$ nuevamente describe un conjunto con dos elementos. Un elemento es $\emptyset$ y el otro es $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}.$ Así que esto definitivamente no es la misma cosa como cualquier conjunto que tiene un solo elemento.
Adrian
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46
El conjunto $\{\{\emptyset\}\}$ es un conjunto con un elemento: $\{\emptyset\}$ (que a su vez es un conjunto con un elemento, el conjunto vacío, que a su vez es un conjunto sin elementos).
Por lo tanto, el conjunto vacío no es un elemento del conjunto que describió. La forma de pensar sobre esto es: los corchetes más externos (externos) determinan qué elementos componen el conjunto.
Esto también explica por qué $\{\{\emptyset\}\} \not\equiv \{\emptyset,\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$ .
Ælfstangard
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Comencemos con la nomenclatura de los conjuntos en la pregunta: El conjunto de $B=\{a\}$ tiene un solo elemento, que es $a$. Ahora, vamos a $a=\emptyset$, luego tenemos a $B=\{\emptyset\}$, que por supuesto es también un conjunto con un solo elementy, es decir, $\emptyset$.
Si ponemos $A$ a un conjunto $C=\{B\}$, luego tenemos a $C=\{\{\emptyset\}\}$. Puede verse fácilmente que $a \not\in C$. Por lo tanto, $\emptyset \not\in \{\{\emptyset\}\}$.
El conjunto $A=\{\emptyset, b\}$ tiene dos elementos. Ahora, vamos a $b=\{\emptyset\}$. Luego tenemos el conjunto de $A=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Si ahora damos un vistazo a $b$, entonces, desde la $b\in A$, también se $\{\emptyset\} \in A$, que es $\{\emptyset\} \in \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$.
Para responder a si $\{\{\emptyset\}\}$ medio $\{\emptyset,\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$: Mira $C$, tiene sólo un elemento, que es $B$. De ello se desprende que $\emptyset \not\in C$, por lo que estos conjuntos son diferentes (el segundo conjunto de dos elementos, que son el conjunto vacío y el conjunto que contiene al conjunto vacío).
