Segunda diferencia en la suma de valores extremos de números cuadrados.

Question

Me doy cuenta de que en una serie consecutiva de la plaza número de $$1,4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$$ if i add up the first element to the last element as well as the second element to the second to the last element i come up with the following result: $$101, 85, 73, 65, 61$$ the eventually get the absolute difference between 2 consecutive sum i have $$16, 12, 8, 4$$ by getting the second difference of this i got $$4,4,4,4$$ is this true to all $n^{2}?$ Este patrón se mantiene incluso yo no comienzan con $1^{2}$, que es, incluso para el número de plazas, en caso de número impar de plazas yo.e de $1^{2}$ a $9^{2}$, puedo simplemente multiplicar la mediana, que es $5^{2}$, por dos, a continuación, hacer el mismo proceso que el patrón aún se mantiene. Traté de probar esta dejando $$n^{2}, (n +1)^{2}, (n + 2)^{2}, ..., (n+k)^{2}, (m - k)^{2}, . . .,(m - 1)^{2}, m^{2}$$ as i add both ends and perform subtraction among consecutive sums i got $$(n+k)^{2} +(m - k)^{2} - 2((n+k)^{2} + (m - 1)^{2} + . . . +(n +1)^{2} + (m - 1)^{2}) - n^{2} - m^{2}$$ pero por desgracia me quedé atrapado ya que me puedo expresar suma de cuadrados consecutivos como único término,,, el internet dicen que su n(2n + 1)(n + 1)/6, pero no puedo conectar esta fórmula el uso de expresiones...alguna idea de cómo hacerlo?

Answer 1

Lema: En primer lugar, darse cuenta de que la diferencia de la diferencia entre los $3$ consecutivos de números al cuadrado es $2$ $$\begin{matrix} 1&&4&&9&&16&&25&&36\\ &3&&5&&7&&9&&11\\ &&2&&2&&2&&2\\ \end{de la matriz}$$

La prueba del lema:

Supongamos tres números al cuadrado $$n^2,~(n-1)^2,~(n-2)^2$$ Entonces $$n^2-(n-1)^2=2n-1$$ $$(n-1)^2-(n-2)^2=2n-3$$ $$[n^2-(n-1)^2]-[(n-1)^2-(n-2)^2]=(2n-1)-(2n-3)=2$$ Ahora a probar su resultado, supongamos que su serie de convertirse en $$n_1,n_2,n_3,\cdots,n_{k-1},n_{k}$$ Lo que están pidiendo es demostrar que $$[(n_{k}+n_1)-(n_{k-1}+n_2)]-[(n_{k-1}+n_2)-(n_{k-2}+n_3)]=4$$ Escribir la ecuación y utilizar el lema, el resultado de la siguiente manera $$\underbrace{[(n_{k}-n_{k-1})-(n_{k-1}-n_{k-2})]}_{2}+\underbrace{[(n_{3}-n_2)-(n_{2}-n_1)]}_{2}=4$$ Seguramente esto funciona para todas las $n^2$. Me he saltado algunos riguroso proceso de inducción.

Sólo para el enriquecimiento, la $n^{th}$ diferencia entre el $n+1$ números consecutivos a la potencia de $n$ es $n!$.

Por ejemplo,

$$\begin{matrix} 1&&8&&27&&64&&125&&216\\ &7&&19&&37&&61&&91\\ &&12&&18&&24&&30\\ &&&6&&6&&6 \end{de la matriz}$$ Y $$\begin{matrix} 1&&32&&243&&1024&&3125&&7776&&16807\\ &31&&211&&781&&2101&&4651&&9031\\ &&180&&570&&1320&&2550&&4380\\ &&&390&&750&&1230&&1830\\ &&&&360&&480&&600\\ &&&&&120&&120 \end{de la matriz}$$

Answer 2

Si tiene $k$ cuadrados consecutivos comenzando desde $n^2$ y subiendo a $\left(n+k-1\right)^2$ , entonces la suma de estos números $k$% es

PS

Esto es

PS

Eso debería ayudarte a terminar el problema.