Comprensión de algunas pruebas-sin-palabras para sumas de números consecutivos, cuadrados consecutivos, números impar consecutivos, y cubos consecutivos

Question

Entiendo cómo derivar las fórmulas para la suma de cuadrados, cuadrados consecutivos, cubos consecutivos y la suma de números Impares consecutivos, pero no entiendo las pruebas visuales para ellos.

Para la segunda y tercera imagen, estoy completamente perdido.

Para el primero puedo ver que hay $(n+1)$ columnas y $n$ filas. ¿Asumo que los grises son parejos y que los blancos son impar o viceversa? ¿Así que para tener una cantidad igual de probabilidades y pares debes dividir por dos?

¿Cómo puedo crear una imagen para la suma de números impar consecutivos ( $1+3+5+...(2n-1)^2 = n^2$ )

Answer 1

La segunda imagen da una prueba visual de la fórmula $$3(1^2+2^2+3^2+ \dots +n^2)= \frac {n(n+1)}{2} \cdot (2n+1)$$ para $n=5$ . La suma de las áreas de la $3 \cdot 5$ cuadrados a la derecha $$3(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)$$ es igual al área del rectángulo de la izquierda con altura $1+2+3+4+5= \frac {6 \cdot 5}{2}$ (ver la primera fórmula) y la base $2 \cdot 5+1$ .

La tercera imagen da una prueba visual de la fórmula $$4(1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3)=(n(n+1))^2$$ para $n=6$ . Comenzando desde el centro y evaluando las áreas de cada marco concéntrico, el área del gran cuadrado de lado $7 \cdot 6$ es $$4 \cdot 1^2+8 \cdot 2^2+12 \cdot 3^2+16 \cdot 4^2+20 \cdot 5^2+24 \cdot 6^2 \\ =4(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3)$$

Answer 2

Suma de naturales

El rectángulo tiene $n$ por $n+1$ y contiene el doble de la suma de los números de $1$ a $n$ . Por lo tanto

$$2\,(1+2+ \cdots n)=n(n+1).$$

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Suma de cuadrados perfectos:

Las células de los tres conjuntos de cuadrados (de áreas $1$ a $n^2$ ) se reordenan en un rectángulo. La altura del rectángulo es la suma de los números enteros de $1$ a $n$ mientras que el ancho es $2n+1$ . Por lo tanto

$$3\,(1+4+ \cdots n^2)= \frac {n(n+1)}2(2n+1).$$

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Suma de cubos perfectos:

Cada anillo contiene $4k$ cuadrados de área $k^2$ por lo tanto, en total, cuatro veces la suma de la $n$ los primeros cubos. Al mismo tiempo, forman un cuadrado de lado dos veces la suma de los números enteros de $1$ a $n$ . Por lo tanto

$$4\,(1+8+ \cdots n^3)=(n(n+1))^2.$$

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Para que la segunda imagen sea aún más legible:

Answer 3

Para un diagrama de la suma de Impares consecutivos, usa el diagrama en tu suma de cuadrados que muestra una L roja con una L amarilla interior, con una L azul interior con una L verde interior con un solo cuadrado verde.