¿Por qué hay antagonismo hacia el extendido de los números reales?

Question

En mi historia, yo se introdujo el concepto geométrico de infinito más jóvenes, a través de la lectura acerca de la inversive plano. En el curso de aprendizaje de cálculo, estoy bastante seguro de que me formó un concepto de $\pm \infty$ mentir en los extremos de la línea real (a pesar de que no eran los números reales a sí mismos), y entiende de límites en términos de que.

Por el momento en que se introdujo a la extensión de los números reales, se trataba simplemente de poner un nombre al concepto anterior, y proporcionar un marco para trabajar con ellos en forma clara y precisa de la moda. (y lo mismo para el proyectivas de los números reales)

El avance rápido de 20 años más tarde, y a través de interacciones con la gente aquí en el MSE, me parece que hay un montón de antagonismo hacia el concepto de la extensión de los números reales. No me refiero a cosas como "podría ser confuso para enseñarles en introductorios de cálculo" - me refiero a cosas como "el extendido de reales $\pm \infty$ lo pensó mejor en términos de límites, más que como puntos" o incluso "no has de desarrollar un concepto de $x$ se acercaban a algo como $x \+\infty$", así como algunos manifiestamente falso demandas (por ejemplo, "$+\infty$ no puede ser un objeto matemático; se puede ser un mero un 'concepto'").

Yo ya había descartado esas opiniones, pero parece lo suficientemente dominantes que sentí que debía pedir al titular de la pregunta: ¿hay alguna buena razón para que este antagonismo? O hay alguna buena razón para evitar la comprensión de cálculo en términos de la extensión de reales (cuando son objetos adecuados para hacerlo)?

Answer 1

El extendido de reales son una forma de pensar, pero no la única forma. Es normal pensar de una línea no tiene extremos, en lugar de como un fin que cumplir.

La razón por la que ver el antagonismo es que este sitio es frecuentado por los estudiantes de matemáticas, que a menudo tienen muy confusas ideas sobre el infinito. La introducción de la extendida reales y permitiendo que $\infty$ a ser un número sólo añadiría a su confusión. Diciendo que $+\infty$ es un concepto y no un número, es una simplificación hecha para el cálculo de ayudar a los estudiantes a entender la definición de $\lim_{x\to \infty}f(x)$. Los educadores de matemáticas regularmente simplificar las cosas para los principiantes, y este es un excelente ejemplo.

Answer 2

No estoy seguro de si explicar por qué la extendida reales son naturales es una respuesta adecuada a esta pregunta, pero sólo en caso de:

A medida que el Bebé Dragón y Bill Dubuque han señalado, diversas nociones de "compactifications" obtenida mediante la adición de "puntos en el infinito" son realmente omnipresente en matemáticas, especialmente en la geometría. Toda la noción de la geometría proyectiva se convierte en la adición de estos tipos de puntos, y no parecer una exageración afirmar que la diferencia entre afín y proyectiva geometría es una especie de la llave de la ciudad de la geometría algebraica, líder en la rama de la matemática contemporánea.

Projectivization aunque llevaría a la de un punto de compactification de $\mathbb{R}$ y estamos hablando de unos $2$-punto compactification. Que muestra de forma natural teniendo en cuenta el orden de las propiedades de $\mathbb{R}$, es decir $\mathbb{R}$ es un Dedekind completa linealmente conjunto ordenado cuya terminación es, precisamente, el extendido de los números reales: ver, por ejemplo, esta nota para una esta. Para el extendido de los números reales son, desde la perspectiva de la orden de la teoría, muy natural. También son útiles en el cálculo y análisis de...

Answer 3

Uno puede identificar la razón por la que un antagonismo a la noción de un número infinito (como contraposición a la cardinalidad), más precisamente debido a la obra del historiador José Dauben. Dauben escribió lo siguiente:

Cantor dedicado algunos de sus más incalificable de la correspondencia, así como parte de los Beiträge, para atacar lo que él describió en uno punto como el 'infinitesimal bacilo del Cólera de las matemáticas', que se había extendido desde Alemania a través de la obra de Thomae, du Bois Reymond y Stolz, para infectar italiano matemáticas ... la aceptación de infinitesimals necesariamente significaba que su propia teoría de la cifra era de incompleta. Por lo tanto a aceptar el trabajo de Thomae, du Bois-Reymond, Stolz y Veronese fue negar la perfección de Cantor de la propia creación. Comprensiblemente, el Cantor lanzó una exhaustiva campaña de descrédito Veronese trabajo en cada manera posible.

Vea las páginas 216-217 en Dauben, J., 1980. El desarrollo de Cantorian la teoría de conjuntos. Desde el cálculo de la teoría de conjuntos, 1630-1910, 181-219, Libros de Princeton, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2000. Publicado originalmente en 1980.

Estos comentarios dejan claro que una de las fuentes de la hostilidad hacia el concepto de un número infinito es la actitud de Georg Cantor, que ha tenido una influencia generalizada en las actitudes de los matemáticos contemporáneos.

Answer 4

Usted tiene el conjunto especial de $\mathbb{R}$. La adición y la multiplicación son definidos y que tienen un orden total sobre ella.
Así que, para todos $a, b \in \mathbb{R}\,$ $(a+b)$, $ab$ en $\mathbb{R}$, y es cierto que $a\leq b$ o $b\leq$ es cierto.

Ahora definirá $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty\}\cup\{+\infty\}$ (voy a distinguir $+\infty$ y $\infty$).
Tiene un total del pedido aquí: si $a, b\in \mathbb{R}$, que la misma es verdadera: $a\leq b$ o $b\leq$, y por cada $a\in \overline{\mathbb{R}}$ es cierto que $a\leq+\infty,\,-\infty\leq$.
Pero usted no tiene la adición y la multiplicación. $3+(+\infty)$, posiblemente, podría ser $+\infty$, pero ¿qué pasa $(-\infty)+(+\infty)$? Y la división?

Usted puede ir más profundo.
Deje que $\overline{\mathbb{R}}^*=\overline{\mathbb{R}}\cup\{\infty\}$. Ahora no tenemos el total del pedido, pero podemos escribir no

$\lim_{x\+\infty}x^2=+\infty$ y $\lim_{x\a\infty}x^2=+\infty$

pero

$\lim_{x\to\infty}x^2=+\infty$

Es bueno (es?), pero sin orden ni siquiera es cierto, que todo conjunto no vacío tiene un límite superior. Es ... desagradable.

Answer 5

Un punto negativo es que el uso de $\pm\infty$ $ + $ y $\cdot$ es difícil de definir. En los libros de texto, una lista de relaciones como $\infty+\infty=\infty$ o $1/\infty=0$ es dado, pero por lo general esta lista no es exhaustiva y es el lector para definir el resto de sí mismo. Cuando las definiciones de la izquierda para el lector, que siempre deja un persistente malestar (al menos para mí, y supongo que también para muchos de los estudiantes de primer año que recientemente se introdujo el concepto de rigor).

También, para ser coherente, teoremas como $(x_n\rightarrow x\text{ y }y_n\rightarrow y)\Rightarrow x_ny_n\rightarrow xy$ tendría que ser probada de la extensión de los números reales, que implicaría un par de casos para distinguir.

Así que mi antagonismo (si se puede llamar así) no es en contra de la extendida recta numérica real, pero en contra de los profesores y de los libros de texto utilizando todo tipo de teoremas sobre ella sin demostrar ellos o lo que es claro para el lector que no es algo probado. Estas preocupaciones pueden parecer triviales a los más avanzados de los matemáticos, pero en el momento en el que llevar a pensar que $\pm\infty$ eran algo sospechoso.

En mi curso de Análisis, $\rightarrow\infty$ fue definido antes de que $\infty$.

La definición de $x_n\rightarrow x$ es $\forall\epsilon>0:\existe n_0>0:|x_n-x|<\epsilon\text{ para }n\geq n_0$.

La definición de $x_n\rightarrow\infty$ es $\forall M>0:\existe n_0>0:x_n>M\text{ para }n\geq n_0$.

Cuando encontré por primera vez estas definiciones, parecían dos cosas totalmente distintas a mí, y, como yo no sabía qué hacer con $\infty$ de todos modos, me negué a aprender la segunda.

Fue sólo cuando me enteré, en General, de la Topología $\overline{\mathbb{R}}$ se puede convertir en un espacio métrico tales que $x_n\rightarrow x$ y $x_n\rightarrow\infty$ son sólo algunos ejemplos de la misma métrica espacio de convergencia, que realmente me sentía seguro acerca del uso de $\pm\infty$.