Convergencia de las funciones

Question

Supongamos que $(X,M,\mu)$ es un $\sigma$ -espacio infinito. Supongamos que $|f_n|\leq g\in L^+$ y $f_n\rightarrow f$ en medida. Demostrar que $\int f=\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$ .

Intenté tomar una subsecuencia de $f_n$ Llámalo $f_{n_j}$ y $f_{n_j}\rightarrow f$ casi en todas partes. También, $f_{n_j}\leq g\in L^+$ . Así que por el Teorema de Convergencia Dominante, $f=\lim_{j\rightarrow\infty}\int f_{n_j}$ Y luego digo que por $\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n=\lim_{j\rightarrow\infty}\int f_{n_j}$ , consigo la igualdad.

Sin embargo, he recibido un comentario sobre mi solución en el que se dice que la afirmación final sólo es válida si $\lim_{n\rightarrow\infty}\int f_n$ existe. ¿Alguien puede dar una explicación más clara de por qué esto es así y cómo puedo arreglar mi prueba?

Answer 1

Añadiré algo para que la respuesta de Thomas sea más clara

Considere esta secuencia

$(\int f_n)$ . Ahora toma cualquier subsecuencia $(\int f_{n_k})$ Ahora aplique su argumento a $(\int f_{n_k})$ existe una sub-subsecuencia $\int f_{n_{k_j}}$ convergente $\int f$ .

Ahora lo que tienes es una secuencia de números reales tal que para cualquier subsecuencia, hay una subsecuencia que converge a un límite.

Esto significa que la secuencia debe converger a ese límite, es decir $(\int f_n)$ converge a $\int f$ .

Answer 2

Si el límite de una secuencia $(x_n)_n$ existe, entonces todas las sucesiones convergen al mismo límite. Pero sin saber que $(x_n)_n$ converge, el objeto $\lim_{n \to \infty} {x_n}$ no está definido.

Sugerencia para arreglar la prueba: Sea $\left(\lim_{n \to \infty} {\int f_n}\right)_n$ tienen los puntos límite $x,y \in \overline{\mathbb{R}}$ . Utilice su argumento para concluir que $x=y$ .