Me encontré con la siguiente pregunta mientras estudiaba para un examen de análisis complejo:
Dada la serie de Taylor siguiente: \tan {\pi z \over 2} = \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{2n+1} z ^ {2n+1}
Demuestra que: \lim \limits_{n\to\infty} a_{2n+1}={4\over\pi}.
Intenté usar la fórmula integral de Cauchy para la n^{th} derivada de \tan {\pi z \over 2}, pero no progresé mucho.
Si ayuda, esta es la tercera parte de la pregunta. Las otras dos son:
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Encuentra todos los puntos singulares de \tan {\pi z \over 2}, clasifícalos y encuentra los residuos. (Hay singularidades en \{1 + 2k; k \in \Bbb Z\}, todas son polos simples con residuo -{2\over\pi})
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¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor: \tan {\pi z \over 2} = \sum \limits _{n=0}^{\infty} a_{2n+1} z ^ {2n+1}? (Es 1 porque \tan {\pi z \over 2} tiene singularidades en -1, 1)
He estado luchando con esta pregunta durante varias horas, así que cualquier ayuda sería apreciada.