¿Puede un espacio$X$ ser homeomorfo para su producto doble consigo mismo,$X \times X$?

Question

Sea$X$ un espacio topológico de cardinalidad infinita. ¿Es posible que cualquier$X$ sea homeomorfo a$X\times X$$?$

Por ejemplo,$\mathbb R$ no es homeomorfo a$\mathbb R^{2}$, y$S^{1}$ no es homeomorphic a$S^{1} \times S^{1}$. Qué otros espacios topológicos podríamos considerar$?$ Qué propiedades de un espacio pueden asegurar o contradecir esta posibilidad$?$ De la pequeña topología que he aprendido todavía, no he visto que esto suceda.

Answer 1

Sí, considere$X := \Bbb Z$ dotado con la topología discreta.

Para cualquier variedad topológica$M$,$\dim (M \times M) = \dim M + \dim M = 2 \dim M$. Como la dimensión de una variedad topológica no vacía está bien definida, no hay una variable topológica de dimensión positiva$M$ para la cual$M \cong M \times M$, que en particular excluye$R$ y$S^1$ as observado. Esto implica que el ejemplo$X = \Bbb Z$ es el único ejemplo que es una variedad topológica (segunda cuenta).

Answer 2

En este nivel de generalidad, puede hacer que$X=X \times X$ suceda con bastante facilidad. Tome un espacio discreto de cualquier cardinalidad infinita, por ejemplo. O topologice$X=A^B$ por cualquier medio y compare$X \times X = A^{B \sqcup B}$; Bajo varias suposiciones leves sobre$B$, esos espacios serían homeomorfos.

Answer 3

Muchos espacios de Banach son linealmente homeomorfos a sus cuadrados cartesianos. Por ejemplo, todos los espacios clásicos, incluidos$c_0$,$\ell_\infty$,$C(K)$ para$K$ métrica compacta,$L_p(\mu)$ para$p\in [1,\infty]$ etc.