¿Cómo garantiza el método de perturbación su solución para la perturbada pde$\Delta u + \epsilon u^2 =0$?

Question

Mi pregunta es muy simple: Supongamos que tenemos un PDE con una condición de contorno $$ \Delta u + u^2 =0 $$ donde$u=u(r,\theta), 0<r<1$$u(1,\theta) = \cos\theta$$0 \leq \theta \leq 2\pi$.

A continuación, nos puede perturbar el término no lineal, obteniendo $$ \Delta u + \epsilon u^2 =0 $$ y buscar una solución $$ u(r,\theta;\epsilon) = \sum_{n=0}^{\infty} \epsilon^n u_n. $$ Como sustituir esto en la perturbado PDE y teniendo en cuenta los coeficientes de las potencias de $\epsilon$, podemos obtener $u_0,u_1,...$ y así sucesivamente con algunos algebraica de trabajo.

Entonces mi pregunta:

1) Podemos analíticamente demostrar (o refutar) que el construido $u$ es de hecho una solución de la original de la PDE cuando tome $\epsilon =1$?

1.1) Si es así, ¿hay alguna PDE libro de texto que se ocupa de este tipo de materia en una forma sistemática?

2) Si no, debemos demostrar numéricamente? Entonces, ¿cómo?

2.1) Y para este tratamiento numérico, cualquier libro de texto?

3) En general, donde puedo aprender perturbación método correctamente en un riguroso ajuste con el análisis?

Nota en mi conocimiento: soy nuevo en el PDE, en la actualidad el aprendizaje en un libro de texto por Farlow y sé que la teoría de la medida y básicos de análisis funcional.

[Duplicación: mathoverflow]

Answer 1

No puedo responder a su pregunta en detalle, pero aquí están algunos pensamientos.

1. Para aprender análisis de perturbación sugiero empezar con objetos sencillos que no lineales de la PDE. Una excelente y muy legible introducción se da la Perturbación de los Métodos, aunque no se ocupa de la PDE.
2. Para demostrar analíticamente que esto es de hecho una de las soluciones que necesitan varios teoremas, el más importante es el diferencial de la dependencia de la solución en el parámetro, en el reino de los lineales de la PDE este tema se trata en un caso por los casos base. Entonces usted tiene que preocuparse acerca de la convergencia de las series. Y también es necesario demostrar que el problema original tiene una solución.
3. Para indicar que el asunto es complicado aquí, quiero señalar que el problema no lineal que está hablando tiene dos soluciones reales, por lo tanto, el enfoque en Farlow le permitirá encontrar sólo uno de ellos. Por otra parte, si reemplazar su condición de frontera con $g(\theta)=A\cos \theta$, $A>20.65$ no lineal problema no tiene soluciones reales, por lo que la serie de aproximaciones será engañoso.
4. Esto significa también que la declaración de que usted puede solucionar el problema no lineal mediante el uso de $\epsilon=1$ en Farlow libro es falso. Si la condición de contorno es $g(\theta)=0$ $\Delta u=0$ tiene única solución trivial, y $\Delta u+u^2=0$ tiene dos soluciones reales.
5. Los ejemplos que he citado, son tomadas de la traducción al ruso de Farlow libro. En el punto donde Farlow escribe acerca de la "cohete" que le llevará a la solución del problema no lineal, el editor de la traducción al ruso hizo un comentario: "Este cohete, en primer lugar, no para todas las condiciones de frontera, volar a $\epsilon=1$ (en las que por alguna condición de frontera en el mundo de soluciones complejas que comienza), y, en segundo lugar, nunca volar a la segunda solución real, si es que existe".
6. Como conclusión me gustaría recomendar a simplemente ignorar este capítulo de Farlow libro (una buena en muchos otros aspectos) y comenzar con algunos otros problemas, donde las perturbaciones pueden ser analizados con rigor.