Demostrando una identidad trigonométrica por integración.

Question

Al considerar,$$\int \sin^n (x)\cos^3(x)dx$ $

Demuestre que: $$ \ frac {\ sin ^ 8 (x)} {8} - \ frac {\ sin ^ 6 (x)} {6} + \ frac {1} {24} = \ frac {\ cos ^ 8 (x)} {8} - \ frac {\ cos ^ 6 (x)} {3} + \ frac {\ cos ^ 4 (x)} {4} $$

He integrado exitosamente la integral sugerida, que es:$$ \frac{\sin^{n+1}(x)}{n+1} - \frac { \sin^{n+3}(x)}{n+3} +c $ $

Veo algo parecido pero no logro conectar y terminar la prueba. ¿Alguna pista sobre cómo encontrar la relación entre los poderes del pecado y el cos mediante esta integral? Obviamente, podríamos expandir$\sin^2(x) = (1-\cos^2(x))$ pero esto parece demasiado tedioso.

Answer 1

Insinuación:

PS

Establecer$$I=\int\sin^{2m+1}x\cos^{2n+1}x\ dx=\int(1-\cos^2x)^m\cos^{2n+1}x\sin x dx$

Otra vez,

PS

Establecer$\cos x=u$

Aquí $$I=\int(1-\sin^2x)^n\sin^{2m+1}x\cos x\ dx$

Establecer$\sin x=v$ etc.

Answer 2

Use el hecho de que$$\sin^5(x)\cos(x)=\sin^4(x)\cos(x)\sin(x)=\bigl(1-\cos^2(x)\bigr)^2\cos(x)\sin(x)$$and do the substitution $ \ cos (x) = t$ and $ - \ sin (x) \, \ mathrm dx = \ mathrm dt $.

Answer 3

Sugerencia ... Solo debe considerar$$\int\sin^5x\cos^3xdx$$ either as $$\int\sin^5x(1-\sin^2x)\cos xdx$$ or as $$\int\sin x(1-\cos^2x)^2\cos^3x dx$ $

Estos diferirán por una constante que puede evaluar usando, por ejemplo. $x=0$